树状数组(一维)

变形一下

现在定义每一列的顶端结点C[]数组 

下面说代码

1. int lowbit(int t)
2. {
3. return t&(-t);
4. }
5. //-t 代表t的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示
6. //例如 :
7. // t=6（0110） 此时 k=1
8. //-t=-6=(1001+1)=(1010)
9. // t&(-t)=(0010)=2=2^1

C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];

C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];

区间查询

ok 下面利用C[i]数组，求A数组中前i项的和 

举个例子 i=7;

sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ;   前i项和

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];   C[6]=A[5]+A[6];   C[7]=A[7];

可以推出:   sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];

序号写为二进制: sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];

再举个例子 i=5

sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] ;   前i项和

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];   C[5]=A[5];

可以推出:   sum[5]=C[4]+C[5];

序号写为二进制: sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)];

细细观察二进制 树状数组追其根本就是二进制的应用

结合代码

1. int getsum(int x)
2. {
3. int ans=0;
4. for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
5. ans+=C[i];
6. return ans；
7. }

对于i=7 进行演示 

                                  7(111)          ans+=C[7]

lowbit(7)=001  7-lowbit(7)=6(110)    ans+=C[6]

lowbit(6)=010  6-lowbit(6)=4(100)    ans+=C[4]

lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)    

对于i=5 进行演示 

                                  5(101)           ans+=C[5]

lowbit(5)=001  5-lowbit(5)=4(100)    ans+=C[4]

lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)   

*************************************************分割线

单点更新

当我们修改A[]数组中的某一个值时  应当如何更新C[]数组呢？

回想一下 区间查询的过程，再看一下上文中列出的图

结合代码分析

1. void add(int x,int y)
2. {
3. for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
4. tree[i]+=y;
5. }
6. //可以发现 更新过程是查询过程的逆过程
7. //由叶子结点向上更新C[]数组

如图： 

当更新A[1]时  需要向上更新C[1] ,C[2],C[4],C[8]

                     C[1],   C[2],    C[4],     C[8]

写为二进制  C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]

                                      1(001)        C[1]+=A[1]

lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010)     C[2]+=A[1]

lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100)     C[4]+=A[1]

lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000)   C[8]+=A[1]

区间更新,区间查找

对于sum1数组的修改同问题2中对d数组的修改。

对于sum2数组的修改也类似，我们给 sum2[l] 加上 l * x，给 sum2[r + 1] 减去 (r + 1) * x。

void add(ll p, ll x){
    for(int i = p; i <= n; i += i & -i)
        sum1[i] += x, sum2[i] += x * p;
}
void range_add(ll l, ll r, ll x){
    add(l, x), add(r + 1, -x);
}
ll ask(ll p){
    ll res = 0;
    for(int i = p; i; i -= i & -i)
        res += (p + 1) * sum1[i] - sum2[i];
    return res;
}
ll range_ask(ll l, ll r){
    return ask(r) - ask(l - 1);
}