dp 01背包，完全背包，多重背包 模板

转自http://www.cppblog.com/tanky-woo/archive/2010/07/31/121803.html
首先说下动态规划，动态规划这东西就和递归一样，只能找局部关系，若想全部列出来，是很难的，比如汉诺塔。你可以说先把除最后一层的其他所有层都移动到2，再把最后一层移动到3，最后再把其余的从2移动到3，这是一个直观的关系，但是想列举出来是很难的，也许当层数n=3时还可以模拟下，再大一些就不可能了，所以，诸如递归，动态规划之类的，不能细想，只能找局部关系。

1.汉诺塔图片

（引至杭电课件:DP最关键的就是状态，在DP时用到的数组时，也就是存储的每个状态的最优值，也就是记忆化搜索）

要了解背包，首先得清楚动态规划：

动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤：

1. 描述一个最优解的结构；

2. 递归地定义最优解的值；

3. 以“自底向上”的方式计算最优解的值；

4. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。

其中步骤1~3是动态规划求解问题的基础。如果题目只要求最优解的值，则步骤4可以省略。

背包的基本模型就是给你一个容量为V的背包 在一定的限制条件下放进最多(最少?)价值的东西

当前状态→ 以前状态

看了dd大牛的《背包九讲》(点击下载)，迷糊中带着一丝清醒，这里我也总结下01背包，完全背包，多重背包这三者的使用和区别，部分会引用dd大牛的《背包九讲》，如果有错，欢迎指出。

((www.wutianqi.com)留言即可)

首先我们把三种情况放在一起来看：

01背包（ZeroOnePack）:

有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

完全背包(CompletePack):

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包(MultiplePack):

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

比较三个题目，会发现不同点在于每种背包的数量，01背包是每种只有一件，完全背包是每种无限件，而多重背包是每种有限件。

---

01背包

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

---

把这个过程理解下：在前i件物品放进容量v的背包时，

它有两种情况：
第一种是第i件不放进去，这时所得价值为:f[i-1][v]

第二种是第i件放进去，这时所得价值为：f[i-1][v-c[i]]+w[i]
（第二种是什么意思？就是如果第i件放进去，那么在容量v-c[i]里就要放进前i-1件物品）

最后比较第一种与第二种所得价值的大小，哪种相对大，f[i][v]的值就是哪种。

（这是基础，要理解！）

这里是用二位数组存储的，可以把空间优化，用一位数组存储。

用f[0..v]表示，f[v]表示把前i件物品放入容量为v的背包里得到的价值。把i从1~n(n件)循环后，最后f[v]表示所求最大值。
*这里f[v]就相当于二位数组的f[i][v]。那么，如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]？（重点！思考）
首先要知道，我们是通过i从1到n的循环来依次表示前i件物品存入的状态。即：for i=1..N
现在思考如何能在是f[v]表示当前状态是容量为v的背包所得价值，而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]标签前一状态的价值？

逆序

这就是关键！

1for i=1..N//物品的个数
2   for v=V..0//包内剩余的（放之前）体积
3        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
4

分析上面的代码：当内循环是逆序时，就可以保证后一个f[v]和f[v-c[i]]+w[i]是前一状态的！
这里给大家一组测试数据：

测试数据：
10,3
3,4
4,5
5,6

这个图表画得很好，借此来分析：

C[v]从物品i=1开始，循环到物品3，期间，每次逆序得到容量v在前i件物品时可以得到的最大值。（请在草稿纸上自己画一画）

这里以一道题目来具体看看：
题目：(http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602)

代码二维数组
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int p[1005],v[1005];
int dp[1005][1005];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int i,j;
        memset(p,0,sizeof(p));
        memset(v,0,sizeof(v));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        int n,v1;
        scanf("%d%d",&n,&v1);
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%d",&p[i]);
        }
        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            scanf("%d",&v[j]);
        }
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            for(j=0; j<=v1; j++)
            {
                if(j<v[i])
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                else
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+p[i]);
            }
        }
        printf("%d
",dp[n][v1]);
    }
    return 0;
}

代码 一维
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int v1[1005];
int w[1005];
int f[1005];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(v1,0,sizeof(v1));
        memset(w,0,sizeof(w));
        memset(f,0,sizeof(f));
        int i,j;
        int n,v;
        scanf("%d%d",&n,&v);
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%d",&v1[i]);
        }
        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            scanf("%d",&w[j]);
        }
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            for(j=v; j>=w[i]; j--)
            {
//                if(j<w[i])
//                    f[j]=f[j];
//                else
                    f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v1[i]);
            }
        }
        printf("%d
",f[v]);
    }
    return 0;
}

分析

具体根据上面的解释以及我给出的代码分析。这题很基础，看懂上面的知识应该就会做了

---

因为三个背包加在一起太长，我都看不下去了，换个地方，
完全背包：http://blog.csdn.net/zxy160/article/details/54410854
多重背包：http://blog.csdn.net/zxy160/article/details/54410915