转自：http://blog.csdn.net/lyhvoyage/article/details/8545852
多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}这里有两种方法，第一：转化为01背包，第二：可以转换成二进制。
普通的转换对于数量较多时，则可能会超时，可以转换成二进制
第一种方法：对于普通的。就是多了一个中间的循环，把j=0~bag[i]，表示把第i中背包从取0件枚举到取bag[i]件
给出一个例题：(http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191)
代码 转化为01背包
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int Value[105];
int Cost[105];
int Bag[105];
int dp[105];
int main()
{
int C,m,n;
scanf("%d",&C);
while(C--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i = 1; i <= m; i++)
scanf("%d%d%d",&Cost[i],&Value[i],&Bag[i]);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1; i<= m; i++)
for(int j=1; j<=Bag[i]; j++)
for(int k=n; k>=Cost[i]; k--)
dp[k]=max(dp[k], dp[k-Cost[i]]+Value[i]);
printf("%d
",dp[n]);
}
return 0;
}第二种方法
多重背包转换成 01 背包问题就是多了个初始化，把它的件数C 用二进制分解成若干个件数的集合，这里面数字可以组合成任意小于等于C的件数，而且不会重复，之所以叫二进制分解，是因为这样分解可以用数字的二进制形式来解释
比如：7的二进制 7 = 111 它可以分解成 001 010 100 这三个数可以组合成任意小于等于7 的数，而且每种组合都会得到不同的数
15 = 1111 可分解成 0001 0010 0100 1000 四个数字
如果13 = 1101 则分解为 0001 0010 0100 0110 前三个数字可以组合成 7以内任意一个数，即1、2、4可以组合为1——7内所有的数，加上 0110 = 6 可以组合成任意一个大于6 小于等于13的数，比如12，可以让前面贡献6且后面也贡献6就行了。虽然有重复但总是能把 13 以内所有的数都考虑到了，基于这种思想去把多件物品转换为，多种一件物品，就可用01 背包求解了。
看代码：
int n; //输入有多少种物品
int c; //每种物品有多少件
int v; //每种物品的价值
int s; //每种物品的尺寸
int count = 0; //分解后可得到多少种物品
int value[MAX]; //用来保存分解后的物品价值
int size[MAX]; //用来保存分解后物品体积
scanf("%d", &n); //先输入有多少种物品，接下来对每种物品进行分解
while (n--) //接下来输入n中这个物品
{
scanf("%d%d%d", &c, &s, &v); //输入每种物品的数目和价值
for (int k=1; k<=c; k<<=1) //<<右移 相当于乘二
{
value[count] = k*v;
size[count++] = k*s;
c -= k;
}
if (c > 0)
{
value[count] = c*v;
size[count++] = c*s;
}
}定理：一个正整数n可以被分解成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1（k是满足n-2^k+1>0的最大整数）的形式，且1～n之内的所有整数均可以唯一表示成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中某几个数的和的形式。
证明如下：
（1） 数列1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中所有元素的和为n，所以若干元素的和的范围为：[1, n]；
（2）如果正整数t<= 2^k – 1,则t一定能用1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和表示，这个很容易证明：我们把t的二进制表示写出来，很明显，t可以表示成n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^（k-1），其中ak=0或者1，表示t的第ak位二进制数为0或者1.
（3）如果t>=2^k,设s=n-2^k+1，则t-s<=2^k-1，因而t-s可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和的形式，进而t可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)，s中某几个数的和（加数中一定含有s）的形式。
（证毕！）
二进制优化代码
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int nCase,Limit,nKind,i,j, v[111],w[111],c[111],dp[111];
//v[]存价值，w[]存尺寸，c[]存件数
//在本题中，价值是米的重量，尺寸是米的价格
int count,Value[1111],size[1111];
//count存储分解完后的物品总数
//Value存储分解完后每件物品的价值
//size存储分解完后每件物品的尺寸
cin>>nCase;
while(nCase--)
{
count=0;
cin>>Limit>>nKind;
for(i=0; i<nKind; i++)
{
cin>>w[i]>>v[i]>>c[i];
//对该种类的c[i]件物品进行二进制分解
for(j=1; j<=c[i]; j<<=1)
{
//<<左移1位，相当于乘2
Value[count]=j*v[i];
size[count++]=j*w[i];
c[i]-=j;
}
if(c[i]>0)
{
Value[count]=c[i]*v[i];
size[count++]=c[i]*w[i];
}
}
//经过上面对每一种物品的分解，
//现在Value[]存的就是分解后的物品价值
//size[]存的就是分解后的物品尺寸
//count就相当于原来的n
//下面就直接用01背包算法来解
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i=0; i<count; i++)
for(j=Limit; j>=size[i]; j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-size[i]]+Value[i]);
cout<<dp[Limit]<<endl;
}
return 0;
}模板
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int dp[102];
int p[102],h[102],c[102];
int n,m;
void comback(int v,int w)//经费，重量。完全背包；
{
for(int i=v; i<=n; i++)
if(dp[i]<dp[i-v]+w)
dp[i]=dp[i-v]+w;
}
void oneback(int v,int w)//经费，重量；01背包；
{
for(int i=n; i>=v; i--)
if(dp[i]<dp[i-v]+w)
dp[i]=dp[i-v]+w;
}
int main()
{
int ncase,i,j,k;
scanf("%d",&ncase);
while(ncase--)
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
scanf("%d%d",&n,&m);//经费，种类；
for(i=1; i<=m; i++)
{
scanf("%d%d%d",&p[i],&h[i],&c[i]);//价值，重量，数量;
if(p[i]*c[i]>=n) comback(p[i],h[i]);
else
{
for(j=1; j<c[i]; j<<1)
{
oneback(j*p[i],j*h[i]);
c[i]=c[i]-j;
}
oneback(p[i]*c[i],h[i]*c[i]);
}
}
printf("%d
",dp[n]);
}
return 0;
} 是不是还没懂啊！我反正不懂，那就再来一道模板题。
:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1059
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
int dp[50000],v;
void bag01(int c,int w)//01背包
{
int i;
for(i=v; i>=c; i--)
{
dp[i]=max(dp[i],dp[i-c]+w);
}
}
void bagall(int c,int w)//完全背包
{
int i;
for(i=c; i<=v; i++)
{
dp[i]=max(dp[i],dp[i-c]+w);
}
}
void multbag(int c,int w,int n)//多重背包
{
if(c*n>=v)
{
bagall(c,w);
return ;
}
int k=1;
while(k<=n)
{
bag01(k*c,k*w);
n=n-k;
k=k*2;
}
bag01(n*c,n*w);
}
int main()
{
int a[10],q=1;
while(1)
{
mem(dp,0);
int flag=0,sum=0;
for(int i=0; i<6; i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
if(a[i]==0)
flag++;
else
sum+=a[i]*(i+1);
}
if(flag==6)
return 0;
if(sum&1)//如果是奇数，直接输不能
printf("Collection #%d:
Can't be divided.
",q++);
else
{
v=sum/2;
for(int i=0; i<6; i++)
if(a[i])
multbag(i+1,i+1,a[i]);//进行多重背包
if(v==dp[v])
printf("Collection #%d:
Can be divided.
",q++);
else
printf("Collection #%d:
Can't be divided.
",q++);
}
}
return 0;
}因为三个背包加在一起太长，我都看不下去了，换个地方，
01背包：http://blog.csdn.net/zxy160/article/details/54378762
完全背包：http://blog.csdn.net/zxy160/article/details/54410854