《信号与系统》系列 Ch03 连续信号的频域分析

Ch 03 - 连续信号的频域分析

连续傅里叶级数 CFS

CFS 给出了周期信号的分解表示

\[x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}A_k{\rm e}^{{\rm j}k\Omega_0t} \\=A_0+\sum_{k=1}^{+\infty}(a_n\cos \frac{2k\pi t}{T_0} + b_n \sin \frac{2k\pi t}{T_0}) \]

用有限（如正弦波叠加型）或无限（如方波）个正弦信号逼近任何一个周期信号。

其中傅里叶级数的系数

\[A_k=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t){\rm e}^{-{\rm j}k\Omega_0t} {\rm d}t \]

给出了周期信号中各复指数谐波分量的复振幅。

直流量

\[A_0=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t) {\rm d}t \]

给出了一个基波周期内的均值。

连续非周期信号傅里叶变换 CTFT

不妨将非周期信号视为周期无限大的周期信号，则有 CFS：

\[x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\Omega}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}x(t){\rm e}^{-{\rm j}k\Omega t} {\rm d}t~{\rm e}^{{\rm j}k\Omega t} \]

其中 \(\Omega\rightarrow0\)，换元 \(k\Omega\rightarrow\Omega\) 并将级数改写为积分

\[x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2\pi} \left(\int_{-\infty}^{+\infty}x(t){\rm e}^{-{\rm j}\Omega t} {\rm d}t \right)~{\rm e}^{{\rm j}\Omega t} {\rm d \Omega} \]

该式即给出了傅里叶变换

\[X({\rm j}\Omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t){\rm e}^{-{\rm j}\Omega t}{\rm d}t \]

和反变换

\[x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X({\rm j}\Omega){\rm e}^{{\rm j}\Omega t}{\rm d}\Omega \]

所以傅里叶变换是傅里叶级数的系数，给出了非周期信号的频谱。由于 \(\Omega\rightarrow0\)，故非周期信号的频谱是连续的。

注意到标量 \(1/(2\pi)\) 可在两个积分间分配，因此还可给出另外一组变换形式

\[X({\rm j}\Omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}x(t){\rm e}^{-{\rm j}\Omega t}{\rm d}t \\x(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}X({\rm j}\Omega){\rm e}^{{\rm j}\Omega t}{\rm d}\Omega \]

基本性质

• 线性

• 时移（同号）

  \(x(t-t_0)\leftrightarrow X({\rm j}\Omega){\rm e}^{-{\rm j} \Omega t_0}\)

• 频移（变号）

  \(x(t){\rm e}^{\rm j\Omega_0t}\leftrightarrow X({\rm j}(\Omega-\Omega_0))\)

• 共轭对称

  \(x^*(t)\leftrightarrow X^*(-{\rm j} \Omega)\)

• 尺度变换

  \(x(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}X({\rm j} \Omega/a)\)

• 时域反转

  \(x(-t)\leftrightarrow X(-{\rm j} \Omega)\)

• 卷积

  \(x(t)*y(t)\leftrightarrow X({\rm j} \Omega)Y({\rm j} \Omega)\)

• 乘法

  \(x(t)y(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X({\rm j} \Omega)*Y({\rm j} \Omega)\)

• 微分

  \({\rm d}x(t)/{\rm d} t\leftrightarrow {\rm j} \Omega X({\rm j} \Omega)\)

• 积分

  \(\int_{-\infty}^t x(\tau){\rm d}\tau\leftrightarrow \frac{1}{{\rm j} \Omega}X({\rm j} \Omega)+\pi X(0)\delta(\Omega)\)

• 对偶

  \(X({\rm j}t)\leftrightarrow 2\pi x(-\Omega)\)

• 奇偶分解

  该性质可以直觉地由欧拉公式结合傅里叶变换中的复指数函数推出

  \(x_{even}(t)\leftrightarrow {\rm Re}[X({\rm j} \Omega)]\)

  \(x_{odd}(t)\leftrightarrow {\rm j}{\rm Im}[X({\rm j} \Omega)]\)

• 帕塞瓦定理

  \(\int_{\infty}|x(t)|^2{\rm d}t=\frac{1}{2\pi} \int_{\infty}|X({\rm j}\Omega)|^2{\rm d}\Omega\)

角频率与线频率

• 角频率 \(\Omega={2\pi}/{T}\)，单位如 \({\rm rad} \times {\rm s}^{-1}\)
• 线频率 \(f=1/T=\Omega/(2\pi)\)，单位如 \({\rm s}^{-1}={\rm Hz}\)

常用变换对

请注意，下表中使用的频率是线频率。当我们谈论角频率时，需要将表中与频率相关的位置除去 \(2\pi\)。为了方便，后文会混着使用两种频率而不加特别区分，因此有 \(2\pi\) 的差异时不是错误。

基本函数

• \(\delta(t) \leftrightarrow 1\)
• \(u(t)\leftrightarrow \pi\delta(\Omega)+\frac{1}{{\rm j}\Omega}\)
• \(1\leftrightarrow 2\pi\delta(\Omega)\)
• \({\rm e}^{{\rm j}\Omega_0t}\leftrightarrow 2\pi\delta(\Omega-\Omega_0)\)
• \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)\leftrightarrow \frac{2 \pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-\frac{2\pi}{T}k)\)

指数

• \({\rm e}^{-at}u(t)~(a>0) \leftrightarrow \frac{1}{a+{\rm j}\Omega}\)
• \(t{\rm e}^{-at}u(t)\leftrightarrow\frac{1}{(a+{\rm j} \Omega)^2},\quad{\rm Re\{a\}>0}\)
• \({\rm e}^{-a|t|}~(a>0)\leftrightarrow \frac{2a}{a^2+\Omega^2}\)

三角函数

• \(\sin \Omega_0t \leftrightarrow \frac{\pi}{\rm j}[\delta(\Omega-\Omega_0)-\delta(\Omega+\Omega_0)]\)
• \(\cos \Omega_0t \leftrightarrow \pi[\delta(\Omega-\Omega_0)+\delta(\Omega+\Omega_0)]\)

门函数与方波（\({\rm sinc}(x)=\frac{\sin \pi x}{\pi x}\), \({\rm Sa}(x)=\frac{\sin x}{x}\)）

• \(x(t)=1,~|t|<\tau/2~{\rm else}~0 \leftrightarrow \tau{\rm Sa} (\Omega\tau/2)\) （门函数）
• \(-\tau\sim+\tau\) 之间最高为 \(E\) 的三角脉冲：\(E\tau{\rm Sa}^2(\Omega\tau/2)\)
• \(\frac{\sin Wt}{\pi t}=\frac{W}{\pi}{\rm Sa}(Wt)\leftrightarrow X({\rm j\Omega})=1,~|\Omega|<W~{\rm else}~0\)（门函数对偶）
• 周期为 \(T_0\) 的偶函数方波，脉宽 \(\tau\)：\(\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{2\sin(k\Omega_0\tau/2)}{k}\delta(\Omega-k\Omega_0),~\Omega_0=2\pi/T_0\)

其他

• \({\rm sgn}(t)\leftrightarrow \frac{2}{{\rm j}\Omega}\)

连续 LTI 系统

傅里叶变换为连续 LTI 系统的频域分析提供了方法。

• \(x(t)\rightarrow X({\rm j}\Omega)\)
• 确定系统的 \(H({\rm j}\Omega)\)
• \(Y({\rm j}\Omega)=X({\rm j}\Omega)H({\rm j}\Omega)\)
• \(Y({\rm j}\Omega)\rightarrow y(t)\)