【説明する】单调队列，单调栈

序

说起这个话题，应该很多人会有一种似有所悟，但又不敢确定的感觉。

（我差不多就是那样）

没错，这正是因为其中“单调”一词的存在。

• 那么单调是什么？
• 学过函数的人都知道单调函数或者函数的单调性吧
• 其实直白一点说单调，就是一直增或一直减。
• 　　　　eg：1，3，5，9就是一个单调增数列，数列中不存在后一个数比前一个数小的现象。

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那么同样，在这里谈到的话题也有类似特点。

（一）单调队列

　　其实就是一个符合单调性质的队列，但它同时具有单调的性质以及队列的性质。

使用频率不算高，但却占有至关重要的地位。它的作用很简单，就是为了维护一组单调数据，让我们在运行的过程中能够快速寻求前k个或后k个中最大或最小的值。

（二）单调栈

　　就是一个符合单调性质的栈并且它具有单调的性质以及栈的性质。

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上面的两个在作用方面是相同的，差别仅是在编程过程中维护的数组的方式不同

（单调队列有两个指针，分别代表头和尾；单调栈有一个指针，代表头指针）

       下面举个简单的栗子来解释单调队列及单调栈。

       eg：有一组数据：1，5，9，4，7，8，6，将他们依此输入。同时，在某一时刻会让你求出后n个数中的最大值。                 

       根据题意，我们可以得出这样一个结论：

　　　　若后一个数大于前一个数，则结果必定不会是前一个数

　　　　（比如现在输入了1，5，由于1<5，所以无论是后几个数中的最大值均不会为1）。

　　　　因此，我们只需维护一个单调递减的数组便可快速求得所需值。

其中数组变化如下：

输入——1，数组——1；
输入——5，由于5>1删去1添入5，数组——5；
输入——9，由于9>5删去5添入9，数组——9；
输入——4，由于4<9直接添入，数组——9,4；
输入——7，由于7>4同时7<9因此删去4添入7，数组——9,7；
输入——8，由于8>4同时8<9因此删去7添入8，数组——9,8；
输入——6，由于6<8直接添入，数组——9,8,6。

总的来说，它的本质就是当你在插入一个值时，应将在他之前存入的所有小于他的数值剔除，再将他存入数组中。

     基础就差不多就这样ok辣~

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良心推荐一些题：

单调队列专题:

1.P1440 求m区间内的最小值 直通

思路:

　　就是进行求解固定区间之内的最小值

上代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;
int n,k,l,r;
int a[N],q[N],p[N];

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        if(q[l]<=i-k) l++;
        while(l<=r && a[i]<=a[q[r]]) r--; //单调递增 
        q[++r]=i;
        p[i]=a[q[l]];
    }
    for(int i=k; i<=n; i++) printf("%d ",p[i]);
    printf("
");
    memset(p,0,sizeof(p));
    l=0,r=0;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        if(q[l]<=i-k) l++;
        while(l<=r && a[i]>=a[q[r]]) r--; //单调递减 
        q[++r]=i;
        p[i]=a[q[l]];
    }
    for(int i=k; i<=n; i++) printf("%d ",p[i]);
    return 0;
}

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2.luogu P1886 滑动窗口 直通

思路:

　　单调队列的裸题，练手题，必刷！

　　而且不仅有求最大值还有求最小值哦！

坑点:

　　看清楚输出的是什么！

上代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;
int n,k,l,r;
int a[N],q[N],p[N];

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        if(q[l]<=i-k) l++;
        while(l<=r && a[i]<=a[q[r]]) r--; //单调递增 
        q[++r]=i;
        p[i]=a[q[l]];
    }
    for(int i=k; i<=n; i++) printf("%d ",p[i]);
    printf("
");
    memset(p,0,sizeof(p));
    l=0,r=0;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        if(q[l]<=i-k) l++;
        while(l<=r && a[i]>=a[q[r]]) r--; //单调递减 
        q[++r]=i;
        p[i]=a[q[l]];
    }
    for(int i=k; i<=n; i++) printf("%d ",p[i]);
    return 0;
}

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3.luogu P1714 切蛋糕 直通

思路:

　　因为求的是幸运总和最大

　　总和？

　　当然就是求一下前缀和辣~

　　所以我们首先求一个前缀和，然后维护一个单调递增的前缀和，最后更新答案时则使用max(ans,sum[i]-sum[q[l]])就结束辣！

坑点:

　　注意这里ans的初始化是什么，我认为应该初始化为-99999999什么的，不过初始化为0也是可以的！

　　因为拥有ans=max(ans,sum[i]-sum[q[l]])这一步，所以如果当前的i==q[l]那么sum[i]-sum[q[l]]一定为0，所以无论你初始化ans多么小，ans最小都只能是0，所以需要把ans输出化为0.

上代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

const int N = 500005;
int n,m,ans,l,r;
int sum[N],q[N];

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%d",&sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];
        if(q[l]<i-m) l++;
        while(l<=r && sum[q[r]]>sum[i]) r--; //维护一个单调增区间 
        q[++r]=i;
        ans=max(ans,sum[i]-sum[q[l]]);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

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4.P1638 逛画展 直通

思路:

　　我们需要用桶来维护一下单调队列，记录一下每个画家的作品出现的次数，如果队头的元素跟后面的元素有重复，那么就删除掉这个元素，以此类推

　　然后最后的更新的话，必须保证所有颜色均出现过了，还需要记录一个last，表示上一次更新的区间的长度是多少。

　　如果现在的区间长度比last要小，并且所有颜色均出现，那么就更新a，b端点坐标以及last，然后继续重复即可

上代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1000001;
const int M = 2001;
int n,m,last=1<<30,a,b;
int x[N],c[M];

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int r=1,l=1,now; r<=n; r++) {
        scanf("%d",&x[r]);
        if(c[x[r]]==0) m--;
        c[x[r]]++;
        while(l<r && c[x[l]]>1) {
            c[x[l]]--;
            l++;
        }
        now=r-l+1;
        if(m==0 && now<last) last=now,a=l,b=r;
    }
    printf("%d %d",a,b);
    return 0;
}

额...至于单调栈什么的，我大概就做过一个题qwq，就光贴上地址吧

直通

ok，先暂时说这么多，以后我如果做到类似的题目还会发啦~大概