【説明する】グラフ理論

数组模拟邻接表存储

详细请见：http://www.cnblogs.com/zxqxwnngztxx/p/6682624.html

图的遍历

遍历是很多图论算法的基础，所谓图的遍历（ graph traversal），也称为搜索（ search），就是从图中某个顶点出发，沿着一些边访遍图中所有的顶点，且使每个顶点仅被访问一次。

遍历可以采取两种方法进行：

深度优先搜索（ DFS： depth first search）；

广度优先搜索（ BFS： breadth first search）。

对图进行存储与遍历：

输入：

第一行：顶点数n。

第二行：边数m。

以下m行，每行两个顶点编号u，v。

1）DFS 遍历

深度优先搜索是一个递归过程，有回退过程。

对一个无向连通图，在访问图中某一起始顶点u 后，由u 出发，访问它的某一邻接顶点v1；再从v1 出发，访问与v1 邻接但还没有访问过的顶点v2；然后再从v2 出发，进行类似的访问；…；如此进行下去，直至到达所有邻接顶点都被访问过的某个顶点x 为止；接着，回退一步，回退到前一次刚访问过的顶点，看是否还有其它没有被访问过的邻接顶点，如果有，则访问此顶点，之后再从此顶点出发，进行与前述类似的访问；如果没有，就再回退一步进行类似的访问。

重复上述过程，直到该连通图中所有顶点都被访问过为止。

模板：(伪代码)

DFS( 顶点 u ) { //从顶点 i 进行深度优先搜索
    vis[ u ] = 1; //将顶点 i 的访问标志置为 1
    for( j=1; j<=n; j++ ) { //对其他所有顶点 j
//j 是 i 的邻接顶点，且顶点 j 没有访问过
        if( map[u][ j ]==1 && !vis[ j ] ) {
//递归搜索前的准备工作需要在这里写代码
            DFS( j ) //从顶点 j 出发进行 DFS 搜索
//以下是 DFS 的回退位置
//在很多应用中需要在这里写代码
        }
    }
}

（2）BFS 遍历

广度优先搜索（ BFS， Breadth First Search）是一个分层的搜索过程，没有回退过程，是非递归的。

BFS 算法思想:

对一个连通图，在访问图中某一起始顶点u 后，由u 出发，依次访问u 的所有未访问过的邻接顶点v1, v2, v3, …vt；然后再顺序访问v1, v2, v3, …vt 的所有还未访问过的邻接顶点；再从这些访问过的顶点出发，再访问它们的所有还未访问过的邻接顶点，……，如此直到图中所有顶点都被访问到为止。

BFS 算法的实现：

与深度优先搜索过程一样，为避免重复访问，也需要一个状态数组 visited[n]，用来存储各顶点的访问状态。如果visited[i] = 1，则表示顶点 i 已经访问过；如果 visited[i] = 0，则表示顶点i 还未访问过。初始时，各顶点的访问状态均为 0。

为了实现逐层访问， BFS 算法在实现时需要使用一个队列，来记忆正在访问的这一层和上一层的顶点，以便于向下一层访问（约定在队列中，取出元素的一端为队列头，插入元素的一端为队列尾,初始时，队列为空）。

真模板:

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<string>
 4 #include<cstring>
 5 
 6 using namespace std;
 7 const int Maxn=1010;
 8 
 9 /*
10 样例 
11 9 10
12 A B
13 A D
14 A E
15 B C
16 B E
17 C G
18 D F
19 E F 
20 F H
21 H I
22 */
23 
24 int m,n;
25 int g[Maxn][Maxn],que[Maxn];
26 bool d[Maxn];
27 bool b[Maxn];
28 
29 void dfs(int i)//递归 
30 {
31     if(i<n-1) cout<<char(i+64)<<"-->";
32     else cout<<char(i+64);//防止最后多输出一个箭头 
33     d[i]=1;   //进行标记已经被搜过 
34     for(int k=1;k<=n;k++)
35     {
36         if(g[i][k]==1&&!d[k])//如果k为是 i 的邻接顶点并且k没有被搜过 
37         {
38             dfs(k);//继续搜索k 
39         }
40     }
41 }
42 
43 
44 void bfs(int u)//非递归 
45 {
46     b[u]=1;//将第一个元素进行标记 
47     cout<<(char)(u+64);//并输出 
48     int head=0,tail=1;//制定队头与队尾 
49     que[1]=u;//将第一个元素进队列，作为头号元素 
50     while(head<tail)//当队头队尾重合之前 
51     {
52         head++;//删除第一个元素，将head指针指向下一个 
53         for(int i=1;i<=n;i++)
54         {
55             if(g[que[head]][i]==1&&!b[i])//如果为此时搜索的邻接顶点并且为被标记 
56             {
57                 b[i]=1;
58                 que[++tail]=i;//入队 
59             }
60         }
61     }
62 }
63 
64 int main()
65 {
66     char a,b;
67     scanf("%d %d",&m,&n);
68     for(int i=1;i<=n;i++)
69     {
70         cin>>a>>b;//需要用cin输入 
71         g[a-64][b-64]=g[b-64][a-64]=1;//进行标记 
72     }
73     printf("dfs
");
74     dfs(1);
75     printf("
");
76     memset(que,0,sizeof(que));
77     printf("bfs
");
78     bfs(1);
79     for(int i=2;i<n;i++)
80     {
81         cout<<"-->"<<(char)(que[i]+64);//输出队列 
82     }
83     return 0;
84 }

DFS+BFS(混合)

求最短路的3种算法

1）Floyed算法 O(N3)

　　简称Floyed(弗洛伊德)算法，是最简单的最短路径算法，可以计算图中任意两点间的最短路径。

　　Floyed的时间复杂度是O (N3)，适用于出现负边权的情况，但是不能解决带有“负权回路”（或者叫“负权环”）的图，因为带有“负权回路”的图没有最短路。

　　例如下面这个图就不存在1号顶点到3号顶点的最短路径。

　　　　　　因为1->2->3->1->2->3->…->1->2->3这样路径中，每绕一次1->-2>3这样的环，最短路就会减少1，永远找不到最短路。

　　　　　　其实如果一个图中带有“负权回路”那么这个图则没有最短路。

算法分析&思想讲解：

　　三层循环，第一层循环中间点k，第二第三层循环起点终点i、j，算法的思想很容易理解：

如果点i到点k的距离加上点k到点j的距离小于原先点i到点j的距离，那么就用这个更短的路径长度来更新原先点i到点j的距离。

我们在初始化时，把不相连的点之间的距离设为一个很大的数，不妨可以看作这两点相隔很远很远，如果两者之间有最短路径的话，就会更新成最短路径的长度。

Floyed算法的时间复杂度是O(N3)。

引例小讲解:

暑假，小哼准备去一些城市旅游。有些城市之间有公路，有些城市之间则没有，如下图。为了节省经费以及方便计划旅程，小哼希望在出发之前知道任意两个城市之前的最短路程。

上图中有4个城市8条公路，公路上的数字表示这条公路的长短。

请注意这些公路是单向的。我们现在需要求任意两个城市之间的最短路程，也就是求任意两个点之间的最短路径。这个问题这也被称为“多源最短路径”问题。

详细过程请见：直通

模板：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #define Maxn 1001
 5 
 6 using namespace std;
 7 
 8 int maps[Maxn][Maxn];
 9 int ans;
10 
11 int main()
12 {
13     memset(maps,999999,sizeof(maps));
14     int n,m;
15     cin>>n>>m;
16     int he,ta,len;
17     for(int i=1; i<=m; i++)
18     {
19         cin>>he>>ta>>len;
20         maps[ta][he]=maps[he][ta]=len;
21     }
22     int x,y;
23     cin>>x>>y;
24     for(int k = 1; k <= n; k++)
25         for(int i = 1; i <= n; i++)
26             for(int j = 1; j <= n; j++)
27             {
28                 if(maps[i][j]>maps[i][k]+maps[k][j])
29                     maps[i][j]=maps[i][k]+maps[k][j];  //进行更新 
30             }
31 
32     printf("%d",maps[x][y]);
33     return 0;
34 }

Floyed

2）Dijkstra算法O （N2）

用来计算从一个点到其他所有点的最短路径的算法，是一种单源最短路径算法。也就是说，只能计算起点只有一个的情况。

Dijkstra的时间复杂度是O (N2)，它不能处理存在负边权的情况。

基本原理：

每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。当所有边权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这个点的距离永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。不过根据这个原理，用Dijkstra求最短路的图不能有负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离不会改变的性质。

模板：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int Maxn=0x7f,mm=1001;
 8 int map[mm][mm];   //输入关系
 9 int minn;   //the最小值
10 int n,m,s1,ss,k;   //度and起止点
11 int dis[mm];  //统计关系
12 int p[mm];  //进行输出关系
13 bool b[mm];
14 
15 void print(int u,int v)
16 {//如果需要输出如何到达 
17     int que[mm];
18     int tot=1;
19     que[tot]=v;
20     tot++;
21     int temp=p[v];
22     while(temp!=u)
23     {
24         que[tot]=temp;
25         tot++;
26         temp=p[temp];
27     }
28     que[tot]=u;
29     for(int i=tot;i>=1;i--)
30         if(i!=1)
31             cout<<que[i]<<"-->";
32         else
33             cout<<que[i]<<endl;
34 }
35 
36 void Dijkstra(int s)
37 {
38     for(int i=1; i<=n; i++)
39     {
40         dis[i]=map[s][i];
41         if(dis[i]!=Maxn)
42             p[i]=s;   //指向s
43         else
44             p[i]=0;   //不进行指向
45     }
46     b[s]=1;
47     dis[s]=0;
48     for(int i=1; i<=n-1; i++)
49     {
50         minn=Maxn;  //便于寻找
51         k=s;  //起点
52         for(int j=1; j<=n; j++)
53             if(!b[j]&&dis[j]<minn)
54             {
55                 minn=dis[j];  //寻找最小值
56                 k=j;  //用k进行记录最小值
57             }
58         b[k]=1;  //进行标记
59         for(int q=1; q<=n; q++)
60             if(!b[q]&&dis[q]>dis[k]+map[k][q]&&map[k][q]<Maxn) {
61                 dis[q]=dis[k]+map[k][q];
62                 p[q]=k;
63             }
64     }
65 }
66 
67 void gett()
68 {
69     int x,y,w;
70     for(int i=1; i<=m; i++)
71     {
72         cin>>x>>y>>w;
73         map[x][y]=map[y][x]=w;
74     }
75 }
76 
77 int main()
78 {
79     scanf("%d %d",&n,&m);
80     memset(map,Maxn,sizeof(map));
81     gett();
82     memset(dis,Maxn,sizeof(dis));
83     scanf("%d %d",&s1,&ss);
84     Dijkstra(s1);
85     printf("%d
",dis[ss]);//仅输出最短路线的长度即可
86     print(s1,ss);
87     return 0;
88 }

Dijkstra

3)SPFA算法O(kE)

主要思想是：

初始时将起点加入队列。每次从队列中取出一个元素，并对所有与它相邻的点进行修改，若某个相邻的点修改成功，则将其入队。直到队列为空时算法结束。

这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford，利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法。

SPFA 在形式上和广度优先搜索非常类似，不同的是广度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是说一个点修改过其它的点之后，过了一段时间可能会获得更短的路径，于是再次用来修改其它的点，这样反复进行下去。

算法时间复杂度：O(kE)，E是边数。K是常数，平均值为2。

接下来答题思想为：

算法实现：

dis[i]记录从起点s到i的最短路径，w[i][j]记录连接i，j的边的长度。pre[v]记录前趋。

team[1..n]为队列，头指针head，尾指针tail。

布尔数组exist[1..n]记录一个点是否现在存在在队列中。

初始化：d[s]=0,d[v]=∞（v≠s），memset(exist,false,sizeof(exist));

起点入队team[1]=s; head=0; tail=1;exist[s]=true;

do {

　　　　1、头指针向下移一位，取出指向的点u。

　　　　2、exist[u]=false;已被取出了队列

　　　　3、for与u相连的所有点v //注意不要去枚举所有点，用数组模拟邻接表存储

　　　　if (d[v]>d[u]+w[u][v]) {

　　　　　　d[v]=d[u]+w[u][v];

　　pre[v]=u;

　　if (!exist[v]) //队列中不存在v点，v入队。

　　exist[v]=true; //尾指针下移一位，v入队;

　　　　｝

　　} while (head < tail);

循环队列：

　　采用循环队列能够降低队列大小，队列长度只需开到2*n+5即可。例题中的参考程序使用了循环队列。

样例：

7 12

1 2 24

1 3 8

1 4 15

2 5 6

3 5 7

3 6 3

4 7 4

5 7 9

6 7 3

6 4 5

6 5 2

7 2 3

模板：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 
 5 using namespace std;
 6 const int Maxn=1001,Maxx=999999;
 7 
 8 int que[Maxn],map[Maxn][Maxn],dis[Maxn];
 9 bool cun[Maxn];
10 int n,m;
11 int qianqu[Maxn],q[Maxn];
12 
13 void SPFA(int s)
14 {
15     int head=0,tail=1,v;
16     que[1]=s;   //将s入队 
17     dis[s]=0;    //s to s 的距离为0
18     qianqu[s]=s;  //记录下s的前驱 
19     cun[s]=1;  //进行标记，已经入队 
20     do
21     {
22         v=que[++head];  //取出队头元素 
23         cun[v]=0; //将标记撤销，说明已经出队 
24         for(int i=1;i<=n;i++)
25         {
26             if(dis[i]>dis[v]+map[v][i])  //进行松弛 
27             {
28                 dis[i]=dis[v]+map[v][i];
29                 qianqu[i]=v;   //记录前驱 
30                 if(!cun[i])   //如果队中没有i元素 
31                 {
32                     que[++tail]=i;  //入队 
33                     cun[i]=1;   //进行标记，已经入队 
34                 }
35             }
36         }
37         
38     }while(head<tail);   //进行循环的条件 
39 }
40 
41 void print(int s,int e)
42 {
43     int tot=1;
44     q[tot]=e;
45     tot++;
46     int temp=qianqu[e];
47     while(temp!=s)
48     {
49         q[tot]=temp;
50         tot++;
51         temp=qianqu[temp];
52     }
53     q[tot]=s;
54     for(int i=tot;i>=1;i--)
55     {
56         if(i!=1)
57           cout<<q[i]<<"-->";
58         else
59           cout<<q[i]<<endl;
60     }
61 }
62 
63 int main()
64 {
65     memset(dis,Maxx,sizeof(dis));   //dis与map必须!!!进行初始化 
66     memset(map,Maxx,sizeof(map));   //这样才能够松弛 
67     scanf("%d %d",&n,&m);
68     int q,h,w,s,e;
69     for(int i=1;i<=m;i++)
70     {
71         scanf("%d %d %d",&q,&h,&w);
72         map[q][h]=w;
73     }
74     //memset(cun,0,sizeof(cun));
75     //memset(que,0,sizeof(que));
76     //这两个可以不用进行初始化 
77     scanf("%d %d",&s,&e);
78     SPFA(s);
79     printf("%d
",dis[e]);
80     print(s,e);
81     return 0;
82 }

Spfa

超详细讲解——

orz http://www.cnblogs.com/mjtcn/p/7599217.html

　　　　　　tarjan算法

tarjan算法，一个关于图的联通性的神奇算法。基于DFS算法，深度优先搜索一张有向图。！注意！是有向图。根据树，堆栈，打标记等种种神奇方法来完成剖析一个图的工作。而图的联通性，就是任督二脉通不通。。的问题。

了解tarjan算法之前你需要知道：

强连通，强连通图，强连通分量，解答树（解答树只是一种形式。了解即可）

强连通(strongly connected)：

　　在一个有向图G里，设两个点 a b 发现，由a有一条路可以走到b，由b又有一条路可以走到a，我们就叫这两个顶点（a，b）强连通。

强连通图：

　　如果在一个有向图G中，每两个点都强连通，我们就叫这个图，强连通图。

强连通分量strongly connected components)：

　　在一个有向图G中，有一个子图，这个子图每2个点都满足强连通，我们就叫这个子图叫做强连通分量［分量::把一个向量分解成几个方向的向量的和，那些方向上的向量就叫做该向量（未分解前的向量）的分量］

举个简单的栗子：

比如说这个图，在这个图中呢，点1与点2互相都有路径到达对方，所以它们强连通.

而在这个有向图中，点1 2 3组成的这个子图，是整个有向图中的强连通分量。

解答树：

　　就是一个可以来表达出递归枚举的方式的树（图），其实也可以说是递归图。。反正都是一个作用，一个展示从“什么都没有做”开始到“所有结求出来”逐步完成的过程。“过程！”

tarjan算法，之所以用DFS就是因为它将每一个强连通分量作为搜索树上的一个子树。而这个图，就是一个完整的搜索树。

为了使这颗搜索树在遇到强连通分量的节点的时候能顺利进行。每个点都有两个参数。

1， DFN［］作为这个点搜索的次序编号（时间戳），简单来说就是第几个被搜索到的。％每个点的时间戳都不一样％。

2， LOW［］作为每个点在这颗树中的，最小的子树的根，每次保证最小，喜欢它的父亲结点的时间戳这种感觉。如果它自己的LOW［］最小，那这个点就应该从新分配，变成这个强连通分量子树的根节点。
　　ps：每次找到一个新点，这个点LOW［］＝DFN［］。

而为了存储整个强连通分量，这里挑选的容器是，堆栈。每次一个新节点出现，就进栈，如果这个点有出度就继续往下找。直到找到底，每次返回上来都看一看子节点与这个节点的LOW值，谁小就取谁，保证最小的子树根。如果找到DFN［］＝＝LOW［］就说明这个节点是这个强连通分量的根节点（毕竟这个LOW［］值是这个强连通分量里最小的。）最后找到强连通分量的节点后，就将这个栈里，比此节点后进来的节点全部出栈，它们就组成一个全新的强连通分量。

先来一段

伪代码：

tarjan(u)
{
　　DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值
　　Stack.push(u)   // 将节点u压入栈中
　　for each (u, v) in E // 枚举每一条边
　　　　if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过
　　　　　　　　tarjan(v) // 继续向下找
　　　　　　　　Low[u] = min(Low[u], Low[v])
　　　　else if (v in S) // 如果节点u还在栈内
　　　　　　　　Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
　　if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
　　repeat v = S.pop  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
　　print v
　　until (u== v)
}

来一发裸代码！

输入：
一个图有向图。

输出：
它每个强连通分量。

input:

6 8

1 3

1 2

2 4

3 4

3 5

4 6

4 1

5 6

output:

3 4 2 1

代码酱=u=

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;
const int M = 1001;

struct node
{
    int v,next;
} edge[M];

int DFN[M],LOW[M];
int stack[M],heads[M],visit[M];
int cnt,tot,index;

void add(int x,int y)
{
    edge[++cnt].next=heads[x];
    edge[cnt].v = y;
    heads[x]=cnt;
    return ;
}

void tarjan(int x)///代表第几个点在处理.递归的是点.
{
    DFN[x]=LOW[x]=++tot;///新进点的初始化.
    stack[++index]=x;///进栈 
    visit[x]=1;///表示在栈里
    for(int i=heads[x]; i!=-1; i=edge[i].next)
    {
        if(!DFN[edge[i].v])
        {
            ///如果没访问过
            tarjan(edge[i].v);///往下进行延伸，开始递归
            LOW[x]=min(LOW[x],LOW[edge[i].v]);///递归出来，比较谁是谁的儿子／父亲，就是树的对应关系，涉及到强连通分量子树最小根的事情。
        }
        else if(visit[edge[i].v ])
        {
            ///如果访问过,并且还在栈里.
            LOW[x]=min(LOW[x],DFN[edge[i].v]);///比较谁是谁的儿子/父亲.(就是链接对应关系)
        }
    }
    if(LOW[x]==DFN[x]) ///发现是整个强连通分量子树里的最小根.
    {
        Do
        {
            printf("%d ",stack[index]);
            visit[stack[index]]=0;
            index--;
        }while(x!=stack[index+1]); //出栈，并且输出。
        printf("
");
    }
    return ;
}

int main()
{
    memset(heads,-1,sizeof(heads));
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x,y;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
        if(!DFN[i])  tarjan(i);///当这个点没有访问过，就从此点开始。防止图没走完
    return 0;
}

tarjan

最小生成树

（注:给出2种代码均可以ACluoguP3366题）题解

最小生成树的简单定义

　　给定一股无向联通带权图G(V,E).E 中的每一条边(v,w)权值位C(v,w)。

　　如果G的子图G'是一个包含G中所有定点的子图，那么G'称为G的生成树，如果G'的边的权值最小那么G'称为G的最小生成树。

1)Prim(普里姆)算法(采用贪心)

from http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html

(可能外加自己的理解？)

1.引入

　　图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。

　　　　　　　　　　　　　　我大致的理解为：最短的一定会存在与最小生成树上

2.算法简单描述

　　1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

　　2).初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {},为空；

　　3).重复下列操作，直到V_new = V：

　　 a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合V_new中的元素，而v不在V_new集合当中，并且v∈V(如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一)；

　　 b.将v加入集合V_new中，将<u, v>边加入集合E_new中；

　　4).输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

下面对算法的图例描述

说明	不可选	可选	已选（V_new）
此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。	-	-	-
顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。	无	G	A, D, F, B, E, C
现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

3.简单证明prim算法

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

　　1).设prim生成的树为G₀

　　2).假设存在G_min使得cost(G_min)<cost(G₀) 则在G_min中存在<u,v>不属于G₀

　　3).将<u,v>加入G₀中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈G_min)

　　4).这与prim每次生成最短边矛盾

　　5).故假设不成立，命题得证.

4.c++代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define Maxx 0x7fffffff

using namespace std;

const int M = 5050;
int n,m;                                                         //n=顶点的个数，m=边的个数
int edge[M][M]={ /*输入的邻接矩阵*/ };
int lowcost[M];                                                  //记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边
bool visited[M];                                                 //标记某点是否加入Vnew
int pre[M];                                                      //记录V中与Vnew最邻近的点

void prim(int start)
{
     int sumweight=0,i,j,k=0;
     visited[start]=true;
     for(i=1;i<=n;i++)
     {
         lowcost[i]=edge[start][i];
         pre[i]=start;
     }
     int minn=Maxx;                                              //最小权值 
     int v=-1;                                                   //所对应的下标 
     for(i=1;i<n;i++)                                            //进行n-1次，因为此时已经知道当前start点到另一点距离最短                                       
     {
         minn=Maxx;
        for(j=1;j<=n;j++)                                      
        {
            if(visited[j]==false && lowcost[j]<minn)             //在Vnew之外寻找最短路径
            {
                minn=lowcost[j];                                 //最短路径 
                v=j;
            }
        }
//      printf("%d %d %d
",pre[v],v,lowcost[v]);
        if(v==-1)
        {
            cout<<"orz"<<endl;
            return;
        }
        visited[v]=true;                                         //将v加Vnew中
        sumweight+=lowcost[v];                                   //计算路径长度之和
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            if(visited[j]==false && edge[v][j]<lowcost[j])      
            {
                lowcost[j]=edge[v][j];                           //此时v点加入Vnew 需要更新lowcost
                pre[j]=v;                             
            }
        }
    }
//  printf("the minmum weight is %d",sumweight);                 //进行输出 
    printf("%d",sumweight);
}


int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
//        lowcost[i]=Maxx;
        for(int j=1; j<=n; j++)
            edge[i][j]=Maxx;                                     //初始化图
    }
    int x,y,w,s,Max=Maxx;
    for(int k=1; k<=m; k++)
    {
        cin>>x>>y>>w;
        if(w<edge[x][y])
            edge[x][y]=edge[y][x]=w;                             //构建图 
        if(w<Max)
        {
            Max=w;
            s=x;                                                 //寻找最初最"实惠"的点 
        }
    }
    prim(s);                                                     //进行求解最小生成树 
    return 0;
}

prim算法

5.时间复杂度

　　这里记顶点数v，边数e

　　邻接矩阵:O(v²) 邻接表:O(elog₂v)

2)Kruskal(克鲁斯卡尔)算法(采用并查集)

用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪心算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

(所有的边从短到长进行排序，每次都选取最短的边)

1.kruskal算法的基本思想：

　　1.首先将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支（n个孤立点）并将所有的边按权从小大排序。

　　2.按照边权值递增顺序，如果加入边后存在圈则这条边不加，直到形成连通图

　　　　对2的解释：如果加入边的两个端点位于不同的连通支，那么这条边可以顺利加入而不会形成圈

2.算法简单描述

　　1).记Graph中有v个顶点，e个边

　　2).新建图Graph_new，Graph_new中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

　　3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

　　4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

if 这条边连接的两个节点于图Graph_new中不在同一个连通分量中

添加这条边到图Graph_new中

　　图例描述：

　　　　首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边，如右图：

　　　　然后将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据，这里再次体现了贪心算法的思想。

　　　　资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图：

　　　　在剩下的边中寻找，我们找到了CE，这里边的权重也是5，如右：

　　　　依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE，如右：

　　　　下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。

　　　　但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连），所以不需要选择他们。

　　　　类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

　　　　最后就剩下EG和FG了，当然我们选择了EG。所以最后成功的图就是右图所示：

3.简单证明Kruskal算法

　　对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础：

　　n=1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

　　假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，

　　即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。

　　我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。

　　用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。

　　显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。

　　而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。

　　于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。

　　　　由数学归纳法，Kruskal算法得证。

4.c++代码实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int N = 5010;
const int M = 200020;
int n,m,ans;
int dad[N];

struct A {
    int u,v,w;
    bool operator < (const A &qwq)const
    {
        return w < qwq.w;
    }
}t[M];

int getdad(int x)
{ return dad[x] == x ? x : dad[x] = getdad( dad[x] ); }

void kruskal()
{
    sort(t+1,t+1+m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int f1=getdad(t[i].u),f2=getdad(t[i].v);
        if(f1!=f2)
        {
            dad[f1]=f2;
            ans+=t[i].w;
        }
    }
    int tmp=getdad(1);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(getdad(i)!=tmp)
        {
            printf("orz");
            return;
        }
    }
    printf("%d
",ans);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d%d",&t[i].u,&t[i].v,&t[i].w);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dad[i]=i;
    kruskal();
    return 0;
}

Kruskal算法

5.时间复杂度：

　　elog₂e e为图中的边数

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原文地址：https://www.cnblogs.com/zxqxwnngztxx/p/6690052.html

【説明する】グラフ理論

数组模拟邻接表存储

图的遍历

遍历是很多图论算法的基础，所谓图的遍历（ graph traversal），也称为搜索（ search），就是从图中某个顶点出发，沿着一些边访遍图中所有的顶点，且使每个顶点仅被访问一次。

1）DFS 遍历

（2）BFS 遍历

求最短路的3种算法

1）Floyed算法 O(N3)

2）Dijkstra算法O （N2）

3)SPFA算法O(kE)

超详细讲解——

tarjan算法

了解tarjan算法之前你需要知道：

举个简单的栗子：

伪代码：

代码酱=u=

最小生成树

最小生成树的简单定义

1)Prim(普里姆)算法(采用贪心)

2)Kruskal(克鲁斯卡尔)算法(采用并查集)

如果运气好也是错，那我倒愿意错上加错！

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如果人生会有很长，愿你的荣耀永不散场