GCD问题 洛谷P1372 又是毕业季I & P1414 又是毕业季II

P1372 又是毕业季I

题目背景

“叮铃铃铃”，随着高考最后一科结考铃声的敲响，三年青春时光顿时凝固于此刻。毕业的欣喜怎敌那离别的不舍，憧憬着未来仍毋忘逝去的歌。1000多个日夜的欢笑和泪水，全凝聚在毕业晚会上，相信，这一定是一生最难忘的时刻！

题目描述

为了把毕业晚会办得更好，老师想要挑出默契程度最大的k个人参与毕业晚会彩排。可是如何挑呢？老师列出全班同学的号数1，2，……，n，并且相信k个人的默契程度便是他们的最大公约数（这不是迷信哦~）。这可难为了他，请你帮帮忙吧！

PS：一个数的最大公约数即本身。

输入输出格式

输入格式：

两个空格分开的正整数n和k。（n>=k>=1）

输出格式：

一个整数，为最大的默契值。

输入输出样例

输入样例#1：

4 2

输出样例#1：

2

说明

【题目来源】

lzn原创

【数据范围】

对于20%的数据，k<=2,n<=1000

对于另30%的数据，k<=10,n<=100

对于100%的数据，k<=1e9,n<=1e9（神犇学校，人数众多）

这道题一开始感觉很茫然，觉得这种问题应该能归纳结论，然后开始暴力枚举了七八个样例，大概猜到了结论。

答案应该是[n/k]，由于C++自动是向下取整，所以就不用过多处理了。

下面给出证明：

设最大默契值为public，选出的k个数组成的数列为{a_k};

显然有a₁≤1*public，a₂≤2*public，......，a_k≤k*public;

又有a_n≤n;

显然得证

#include<iostream>
using namespace std;
int n,k;
int main(){
    cin>>n>>k;
    cout<<n/k<<endl;
    return 0;
}

P1414 又是毕业季II

题目背景

“叮铃铃铃”，随着高考最后一科结考铃声的敲响，三年青春时光顿时凝固于此刻。毕业的欣喜怎敌那离别的不舍，憧憬着未来仍毋忘逝去的歌。1000多个日夜的欢笑和泪水，全凝聚在毕业晚会上，相信，这一定是一生最难忘的时刻！

题目描述

彩排了一次，老师不太满意。当然啦，取每位同学的号数来找最大公约数显然不太合理。于是老师给每位同学评了一个能力值。于是现在问题变为，从n个学生中挑出k个人使得他们的默契程度（即能力值的最大公约数）最大。但因为节目太多了，而且每个节目需要的人数又不知道。老师想要知道所有情况下能达到的最大默契程度是多少。这下子更麻烦了，还是交给你吧~

PS：一个数的最大公约数即本身。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个正整数n。

第二行为n个空格隔开的正整数，表示每个学生的能力值。

输出格式：

总共n行，第i行为k=i情况下的最大默契程度。

输入输出样例

输入样例#1：

4
1 2 3 4

输出样例#1：

4
2
1
1

说明

【题目来源】

lzn原创

【数据范围】

记输入数据中能力值的最大值为inf。

对于20%的数据，n<=5，inf<=1000

对于另30%的数据，n<=100，inf<=10

对于100%的数据，n<=10000，inf<=1e6

不难想到k个数的公约数等价于是这k个数均含有某个因数，然后就显然了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath> 
using namespace std;
int n,a,mx,g,cnt[1000010];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a);
        mx=max(mx,a);
        g=sqrt(a);
        for(int j=1;j<=g;j++)
            if(a%j==0){
                cnt[j]++;
                if(j*j!=a) cnt[a/j]++;//这个地方要优化一下循环，到sqrt(a)，否则TLE 
            }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(cnt[mx]<i) mx--;
        printf("%d
",mx);
    }
    return 0;
}