• 最大数组问题


    问题:给出一个整数数组,要找出元素之和最大的子数组。

    如有列表A

    A = [-2, -4, 3, -1, 5, 6, -7, -2, 4, -3, 2]

    算法1:

    def maxsub_1(A):
        m = 0
        for j in range(len(A)):
            for k in range(j, len(A)):
                s = 0
                for i in range(j, k+1):
                    s += A[i]
                    if s > m:
                        m = s
        return m

    分析:外层循环变量j迭代n次,内层循环变量k最多迭代n次,最内层循环变量i最多迭代n次,因此算法复杂度为O(n3)

    算法2:

    考虑Si为前i个元素之和(前缀和),则Aj加到Ak可表示为Sk - Sj-1,则有以下算法

    def maxsub_2(A):
        S = [0]
        S = S * len(A)
        S[0] = A[0]
        for i in range(1, len(A)):
            S[i] = S[i-1] + A[i]
            S.append(S[i])
        m = 0
        for j in range(len(A)):
            for k in range(j, len(A)):
                s = S[k] - S[j-1]
                if s > m:
                    m = s
        return m

    分析:i层循环变量迭代n-1次,复杂度O(n),外层循环变量j迭代n次,内层循环变量k最多迭代n次,内层循环体(减法计算)复杂度只需要O(1),复杂度为O(n2),因此总复杂度为O(n)+O(n2)=O(n2)

    算法3:

    放弃前缀和,考虑后缀和M,则有以下算法

    def maxsub_3(A):
        M = [0]
        M = M * len(A)
        M[0] = 0
        for t in range(len(A)):
            M[t] = max(0, M[t-1]+A[t])
        m = 0
        for t in range(len(A)):
            m = max(m, M[t])
        return m

    分析:复杂度为O(n)

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