线性代数学习笔记(代数版)

Orz yanQval

内容主要来自半年前洛谷的冬令营，因为版权原因课件就不放了。

本来是不想学来着，但是过几天出去学习要讲这个，怕被虐的太惨就先预习一下吧

然而课件里面的题目基本都是CTSC难度的而且找不到提交地址qwq。

矩阵

(A_{nm})表示一个(n)行(m)列的矩阵。

一个(1)行(n)列的矩阵可以被称为行向量

一个(n)行(1)列的矩阵可以被称为列向量

一个(n)行(n)列的矩阵可以被称为(n)阶方阵(A_n)

(A^T)表示矩阵的转置，即(a_{ij}^{T} = a_{ji})，相当于把矩阵沿主对角线翻转

除了主对角线上的元素全部为(0)的矩阵为对角矩阵

主对角线以下全部为(0)的方阵是上三角矩阵

单位矩阵是主对角线全为(1)的对角矩阵，一般用(I/E)表示

逆矩阵

矩阵(A)的逆矩阵(A^{-1})，是满足(AA^{-1} = A^{-1}A = I)的矩阵

求逆矩阵的方法：

将原矩阵的右边放一个单位矩阵，并对整体进行消元，当左边被消成单位矩阵时，右侧就被消成了逆矩阵。如果中途失败则说明矩阵不可逆

其实还好理解，消元过程中使用的矩阵初等行变换实际上是左乘一个矩阵，他们的乘积就是逆矩阵，因此我们需要在右侧来构造一个矩阵来收集乘积的结果。

行列式

定义

一个方阵的行列式表示为(|A|)

[|A| = sum_{p}(-1)^{sigma(p)} prod_{i = 1}^n a_{i, p_i} ]

其中(p)表示任意一个(1)到(n)的排列

(sigma(p))表示(p)的逆序对的数量

比如当(n = 2)时，

[egin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{12} end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} ]

解释一下

当(p = 1,2)时，逆序对为(0)个，(p_1 = 1, p_2 = 2)，因此((-1)^0 *(a_{1_{p_1}})*(a_{2_{p_2}}) = a_{11} * a_{22})

当(p = 2,1)时，逆序对为(1)个，(p_1 = 2, p_2 = 1)，因此((-1)^1 * (a_{1_{p_1}})*(a_{2_{p_2}}) = -1 * a_{12} * a_{21})

因此(|A| = a_{11}{22} - a_{12}a_{21})

性质

• 一个对角矩阵/上三角矩阵的行列式值是所有对角线上元素的乘积

证明：

大概感性的理解一下吧，考虑行列式的定义中，我们需要枚举(a_{i{p_i}})，那么当(i = n)(也就是最后一行)，我们只有一种取值((p_n = n))不为(0)，

当(i = n - 1)时，虽然有两种取值，但是最后一行已经去了一种，因此还是只有一种取值，以此类推。每一行都只有一种取值

因此答案为对角线元素的乘积

• 交换矩阵的两行/两列，行列值取反

证明：

性质：对于一个排列，交换任意两个元素，排序的奇偶性一定改变

我们交换了两行/两列，实际上是交换了(p_i, p_j)，因此奇偶性一定改变。

• 将矩阵的一行/一列乘上一个固定的常数(k)，行列式值也乘上(k)

• 将矩阵的一行加到另外一行上去，行列式值不变，列同理

证明：

想要直接证明比较困难，我们先证几个性质

1. 存在两行一样的矩阵，行列式值为(0)

   证明：考虑，如果第(x)行和第(y)行相同，那么交换排列中的(p_x, p_y)，(prod a_{i, p_i})不变，而前面的符号相反。所以行列式的每一项都存在一项和它的绝对值相同，符号相反

2. 假设矩阵第(x)行，第(i)列的元素为(a_{i})，且满足(a_i = b_i + c_i)，那么我们一定可以构造两个矩阵(B,C)，使得(|A| = |B| + |C|)

有了这两个性质，再重新考虑我们需要证明的东西

一个行(a)加到另一行(b)上面，我们会得到一行(c = a+b)

我们可以把(c)拆开来看，其中的(b)已经出现过，因此它对答案的贡献为(0)

所以行列值的值不变

• 矩阵可逆的充要条件是行列式不为(0)

证明：

行列式为(0)，说明消元过程中出现了(a_{i, j} = 0)

有了这些性质，我们就可以用高斯消元在(O(n^3))的时间复杂度内求出矩阵行列式的值

伴随矩阵

余子式：

将方阵的第(i)行和第(j)行同时划去，剩余的一个(n - 1)阶的矩阵的行列式值称为元素(a_{ij})的余子式，通常记为(M_{ij})

代数余子式：

元素(a_{ij})的代数余子式为(C_{ij} = (-1)^{i + j} M_{ij})

拉普拉斯展开

对于一个方阵(A)，(A)的行列式等于某一行所有元素的值乘上他们代数余子式 的和

即:(|A| = sum_{i = 1}^n a_{xi} C_{xi})，(x)是一个确定的行坐标，列同理

伴随矩阵

矩阵(A)的代数余子式矩阵是有每个元素的代数余子式构成的矩阵

矩阵(A)的伴随矩阵(A*)，是(A)的代数余子式矩阵的转置，即(A* = C^T)

对于可逆矩阵，满足

(A* = |A|A^{-1})

其他的一些定义

线性空间

线性空间：一个非空集合(V)，对加法满足阿贝尔群，对数乘满足结合律，分配律，封闭性，域(F)上的单位元(1)满足(1v = v)

子空间：设(W)是(V)的一个子集，(W)在加法和数乘下都是封闭的，且(0 in W)，则(W)是(V)的子空间

生成子空间(扩张)：对于若干(V)中的元素(v)，包含这些(v)的最小的子空间
(W)是这些元素的生成子空间

生成集合：对于一个(V)的子集(v)，如果(v)的生成子空间是(V)，则称(v)是(V)的一个生成集合

线性相关

对于一个线性空间的一个子集(v_1, v_2, dots , v_k)，如果(x_1v1 + x_2v_2 + dots x_kv_k = 0)存在非平凡解，则称这个子集线性相关，否则线性无关。这个条件等价于：任何一个元素都可以被其他元素线性表出

对于向量空间(V)的一个线性无关子集(v)，如果(v)的生成子空间是(V)，则称(v)是(V)的一组基，(|v|)是(V)的维度，同时(v)也是(V)的最小生成集合，同时也是极大线性无关组

对于一个矩阵(A)，把它的每一行看做一个行向量，那么它的极大线性无关组大小称为(A)的行秩，同理也可以定义(A)的列秩。显然，一个矩阵的行秩和列秩是相等的，如果一个矩阵的秩等于它的阶，那么这个矩阵满秩

同样，一个矩阵可逆的条件等于矩阵满秩。

反证法：如果矩阵不满秩，则消到最后一行时，一定可以被之间的线性表出