数列
按照一定顺序排列着的一列数称为数列
数列中的每一个数叫做这个数列的项
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)
数列的一般形式可以写成
[a_1, a_2, a_3, dots, a_n, dots,
]
简记为({ a_n})， 项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列
按照数列的每一项随序号变化的情况对数列分类：
-
从第(2)项起，每一项都不小于它前一项的数列叫做递增数列
-
从第(2)项起，每一项都不大于它前一项的数列叫做递减数列
-
各项相等的数列叫做常数列
-
从第(2)项起，有些项大于它前一项，有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列
等差数列
如果一个数从第(2)项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列(arithmetic sequence)，这个常数叫做等差数列的公差(common difference)，公差通常用字母(d)表示
第(n)项的值
(a_n = a_1 + (n - 1)d)
前(n)项的和
[S_n = frac{n(a_1 + a_n)}{2}
]
[= na_1 + frac{n(n - 1)}{2}d
]
证明：
[S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + dots + [a_1 + (n - 1)d]
]
[S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + dots + [a_n - (n - 1)d]
]
上加下得
[2S_n = n(a_1 + a_n)
]
[S_n = frac{n(a_1 + a_n)}{2}
]
由于(a_n = a_1 + (n - 1)d)
因此
[S_n = na_1 + frac{n(n - 1)}{2}d
]
等比数列
一般的，如果一个数列从第(2)项起，每一项与它前一项的比等于同一常数， 那么这个数列叫做等比数列(geometric sequence)，这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，
公比常用字母(q)表示((q
ot = 0))
第(n)项的值
(a_n = a_1 q^{n - 1})
前(n)项的和
[S_n = frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} (q
e 1)
]
[= frac{a_1 - a_nq}{1 - q} (q
e 1)
]
证明:
[S_n = a_1 + a_2 + dots + a_n
]
[S_n = a_1 + a_1d + a_1 d^2 + dots + a_1 d^{n - 1}
]
两边同乘(d)
[dS_n = a_1d + a_1d^2 + a_1 d^3 + dots + a_1 d^n
]
上减下得
[(1 - d)S_n = a_1 - a_1d^n
]
[S_n = frac{a_1 - a_1d^n}{1 - d}
]
由于$$a_n = a_1 d^{n - 1}$$
因此
[S_n = frac{a_1 - a_n d}{1 - d}
]