• BZOJ1061: [Noi2008]志愿者招募(线性规划)


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    Description

      申奥成功后,布布经过不懈努力,终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难
    题:为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算,这个项目需要N 天才能完成,其中第i 天至少需要
    Ai 个人。 布布通过了解得知,一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天,招募费用
    是每人Ci 元。新官上任三把火,为了出色地完成自己的工作,布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者,但这
    并不是他的特长!于是布布找到了你,希望你帮他设计一种最优的招募方案。

    Input

      第一行包含两个整数N, M,表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。 接下来的一行中包含N 个非负
    整数,表示每天至少需要的志愿者人数。 接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci,含义如上文所述。为了
    方便起见,我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

    Output

      仅包含一个整数,表示你所设计的最优方案的总费用。

    Sample Input

    3 3
    2 3 4
    1 2 2
    2 3 5
    3 3 2

    Sample Output

    14

    HINT

    1 ≤ N ≤ 1000,1 ≤ M ≤ 10000,题目中其他所涉及的数据均 不超过2^31-1。

    Source

    如果不知道这题是线性规划的话肯定很难看出来,不过知道了就好做多了

    若$C_i$为第$i$个人的花费,$a_i$为第$i$天需要的人,$x_i$为第$i$个人的数量

    那么我们需要满足对于每一天$i$,$sum_{i = 1}^{M} x_i >= a_i$,同时$sum C_i x_i$最小

    啥?最小?当时我推出式子来就蒙了qwq。然后跑去膜题解

    根据对偶原理,问题相当于使得$sum_{i = 1}^{M} x_i <= C_i$,的情况下$sum a_i x_i$最大

    仔细一想好像挺有道理

    关于最后答案是否为整数的问题

    https://www.luogu.org/problemnew/solution/P3980

    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    #define LL long long 
    using namespace std;
    const int MAXN = 51, INF = 1e9 + 10;
    const double eps = 1e-8;
    inline int read() {
        char c = getchar();int x = 0,f = 1;
        while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-')f = -1;c = getchar();}
        while(c >= '0' && c <= '9'){x = x * 10 + c - '0',c = getchar();}
        return x * f;
    }
    int N, M;
    LL a[10001][1001];
    void Pivot(int l, int e) {
        double t = a[l][e]; a[l][e] = 1;
        for(int i = 0; i <= N; i++) a[l][i] /= t;
        for(int i = 0; i <= M; i++) {
            if(i != l && abs(a[i][e]) > eps) {
                t = a[i][e]; a[i][e] = 0;
                for(int j = 0; j <= N; j++)
                    a[i][j] -= a[l][j] * t;
            }
        }
    }
    bool simplex() {
        while(1) {
            int l = 0, e = 0; double mn = INF;
            for(int i = 1; i <= N; i++)
                if(a[0][i] > eps) 
                    {e = i; break;}
            if(!e) break;
            for(int i = 1; i <= M; i++)
                if(a[i][e] > eps && a[i][0] / a[i][e] < mn)
                    mn = a[i][0] / a[i][e], l = i;
            Pivot(l, e);
        }
        return 1;
    }
    int main() {
        srand(19260817);
        N = read(); M = read();
        for(int i = 1; i <= N; i++) a[0][i] = read();    
        for(int i = 1; i <= M; i++) { 
            int S = read(), T = read(), C = read();
            for(int j = S; j <= T; j++)    
                a[i][j] = 1;
            a[i][0] = C;
        }
        simplex();
        printf("%lld", -a[0][0]);
        return 0;
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/9320516.html
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