BZOJ2752: [HAOI2012]高速公路(road)(线段树 期望)

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Description

Y901高速公路是一条重要的交通纽带，政府部门建设初期的投入以及使用期间的养护费用都不低，因此政府在这条高速公路上设立了许多收费站。
Y901高速公路是一条由N-1段路以及N个收费站组成的东西向的链，我们按照由西向东的顺序将收费站依次编号为1~N，从收费站i行驶到i+1(或从i+1行驶到i)需要收取Vi的费用。高速路刚建成时所有的路段都是免费的。
政府部门根据实际情况，会不定期地对连续路段的收费标准进行调整，根据政策涨价或降价。
无聊的小A同学总喜欢研究一些稀奇古怪的问题，他开车在这条高速路上行驶时想到了这样一个问题:对于给定的l,r(l<r),在第l个到第r个收费站里等概率随机取出两个不同的收费站a和b，那么从a行驶到b将期望花费多少费用呢?

Input

第一行2个正整数N,M，表示有N个收费站，M次调整或询问
接下来M行，每行将出现以下两种形式中的一种
C l r v 表示将第l个收费站到第r个收费站之间的所有道路的通行费全部增加v
Q l r   表示对于给定的l,r，要求回答小A的问题
所有C与Q操作中保证1<=l<r<=N

Output

对于每次询问操作回答一行，输出一个既约分数
若答案为整数a，输出a/1

Sample Input

4 5
C 1 4 2
C 1 2 -1
Q 1 2
Q 2 4
Q 1 4

Sample Output

1/1
8/3
17/6

HINT

数据规模

所有C操作中的v的绝对值不超过10000

在任何时刻任意道路的费用均为不超过10000的非负整数

所有测试点的详细情况如下表所示

Test N M

1 =10 =10

2 =100 =100

3 =1000 =1000

4 =10000 =10000

5 =50000 =50000

6 =60000 =60000

7 =70000 =70000

8 =80000 =80000

9 =90000 =90000

10 =100000 =100000

Source

这题跟期望有个鸡毛关系？？

每个位置被选择的概率是相等的，因此每次询问的答案为

$frac{sum_{i = l}^r sum_{j = i}^r dis(i, j)}{C_{r - l + 1}^2}$，

发现下面是个常数

上面比较难处理，考虑枚举每一个数的贡献$sum_{i = l}^r a[i] * (r - i + 1) * (i - l + 1)$

然后展开，发现可以用线段树维护。

完了。。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
//#define LL long long 
#define int long long 
using namespace std;
const int MAXN = 4 * 1e5 + 10;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
#define ls(k) k << 1
#define rs(k) k << 1 | 1
struct Node {
    int l, r, siz;
    int w[3], tag;
    Node() {
        w[0] = w[1] = w[2] = tag = l = r = 0;
    }
    /*Node operator + (const Node &rhs) const {
        Node x = *this;
        for(int i = 0; i < 2; i++) x.w[i] += rhs.w[i];
        return x;
    }*/
    void print() {
        printf("%d %d %d
", w[0], w[1], w[2]);
    }
}T[MAXN];
void update(int k) {
    for(int i = 0; i <= 2; i++) T[k].w[i] = T[ls(k)].w[i] + T[rs(k)].w[i]; 
}
int calc(int n) {
    return (2 * n + 1) * (n + 1) * n / 6;
}
void down(int val, int k) {
    T[k].w[0] += ((T[k].r + 1) * T[k].r - (T[k].l ) * (T[k].l - 1)) / 2  * val;
    T[k].w[1] += (calc(T[k].r) - calc(T[k].l - 1)) * val;
    T[k].w[2] += T[k].siz * val;
    T[k].tag += val; 
}
void pushdown(int k) {
    if(!T[k].tag) return;
    down(T[k].tag, ls(k)); down(T[k].tag, rs(k));
    T[k].tag = 0;
}
void Build(int k, int ll, int rr) {
    T[k].l = ll; T[k].r = rr; T[k].siz = rr - ll + 1;
    if(ll == rr) return ;
    int mid = ll + rr >> 1;
    Build(ls(k), ll, mid); Build(rs(k), mid + 1, rr);
}
void IntervalAdd(int k, int ll, int rr, int val) {
    if(ll <= T[k].l && T[k].r <= rr) {
        down(val, k); return ;
    }
    pushdown(k);
    int mid = (T[k].l + T[k].r) >> 1;
    if(ll <= mid) IntervalAdd(ls(k), ll, rr, val);
    if(rr >  mid) IntervalAdd(rs(k), ll, rr, val);
    update(k);
}
Node Merge(Node x, Node y) {
    for(int i = 0; i <= 2; i++)
        x.w[i] += y.w[i];
    return x;
}
Node IntervalAsk(int k, int ll, int rr) {
    Node ans;
    //ans.print();
    if(ll <= T[k].l && T[k].r <= rr) {
        ans = T[k]; 
        return ans;
    }
    pushdown(k);
    int mid = T[k].l + T[k].r >> 1;
    //Node ls = IntervalAsk(ls(k), ll, rr);
    if(ll <= mid) ans = Merge(ans, IntervalAsk(ls(k), ll, rr));
    if(rr >  mid) ans = Merge(ans, IntervalAsk(rs(k), ll ,rr));
    //ans.print();
    return ans;
}
int Query(int l, int r) {
    Node ans = IntervalAsk(1, l, r);
    int up, down;
    down = (r - l + 1) * (r - l + 2) / 2;
    up = ans.w[0] * (r + l) - ans.w[1] - ans.w[2] * (r * l + l - r - 1);
    int gcd = __gcd(down, up);
    printf("%lld/%lld
", up / gcd, down / gcd);
}
int N, Q;
main() {
    N = read(); Q = read();
    Build(1, 1, N);
    while(Q--) {
        char c = '-'; while(c != 'C' && c != 'Q') c = getchar();
        int l = read(), r = read(), v;
        if(c == 'C') v = read(), IntervalAdd(1, l, r - 1, v);
        else Query(l, r - 1);
    }
}