洛谷P4093 [HEOI2016/TJOI2016]序列

题目描述

佳媛姐姐过生日的时候，她的小伙伴从某宝上买了一个有趣的玩具送给他。玩具上有一个数列，数列中某些项的值可能会变化，但同一个时刻最多只有一个值发生变化。现在佳媛姐姐已经研究出了所有变化的可能性，她想请教你，能否选出一个子序列，使得在任意一种变化中，这个子序列都是不降的？请你告诉她这个子序列的最长长度即可 。

注意：每种变化最多只有一个值发生变化。在样例输入1中，所有的变化是：

1 2 3 
2 2 3 
1 3 3 
1 1 3
1 2 4 

选择子序列为原序列，即在任意一种变化中均为不降子序列在样例输入2中，所有的变化是:

3 3 3
3 2 3

选择子序列为第一个元素和第三个元素，或者第二个元素和第三个元素，均可满足要

输入输出格式

输入格式：

输入的第一行有两个正整数n, m，分别表示序列的长度和变化的个数。接下来一行有n个数，表示这个数列原始的状态。接下来m行，每行有2个数x, y，表示数列的第x项可以变化成y这个值。1 <= x <= n。

输出格式：

输出一个整数，表示对应的答案

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3 4 
1 2 3 
1 2 
2 3 
2 1 
3 4

输出样例#1： 复制

3

说明

对于20%数据所有数字均为正整数，且小于等于300

对于50%数据所有数字均为正整数，且小于等于3,000

对于100%数据所有数字均为正整数，且小于等于100,000

这道题是DP应该不难看出来。

$dp[i]$表示选择$i$以后所能形成的满足条件的子序列的最大值

转移的时候枚举前面的点$(j)$。

设$MX[i]$表示$i$号位置能变成的最大值，$MI[i]$表示$i$号位置能变成的最小值，$a$为原序列

这样转移的时候会有两个限制条件

$a[i]>=MX[j]$ && $MI[i]>=a[j]$

这很明显是个二维偏序问题嘛，用CDQ树套树什么的都可以搞。

树套树的话，将$a$抽象为$x$轴，将$MX$抽象为$y$轴

转移的时候我们实际是在左下角为$(0,0)$，右上角为$MI[i],a[i]$的矩阵中查最大值

每次转移对答案的贡献的话实际上只是改变了$a[i],mx[i]$的值

然后就能很自然的想到树套树了，线段树套线段树或者树状数组套线段树都可以搞

后者常数小一些

线段树的数组一定要开的足够大！！！！

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=6*1e6+10;
const int MAXNN=1e5+10;
const int INF=1e8+10;
inline int read()
{
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int root[MAXN],N,M,MX[MAXNN],MI[MAXNN],a[MAXNN];
struct S
{
    struct node
    {
        int ls,rs,mx;
    }T[MAXN];
    int tot;
    int query(int now,int ll,int rr,int pos)
    {
        if(ll==rr) 
            return T[now].mx;
        int mid=ll+rr>>1;
        if(pos<=mid) 
            return query(T[now].ls,ll,mid,pos);
        else 
            return max( T[T[now].ls].mx , query(T[now].rs,mid+1,rr,pos));    
    }
    void change(int &now,int ll,int rr,int pos,int val)
    {
        if(!now) now=++tot;
        T[now].mx=max(T[now].mx,val);
        if(ll==rr) return ;
        int mid=ll+rr>>1;
        if(pos<=mid) change(T[now].ls,ll,mid,pos,val);
        else          change(T[now].rs,mid+1,rr,pos,val);
    }
}tree;
struct B
{ 
    int N;
    int Tree[MAXNN];
    int lowbit(int p) {return p&(-p);}
    int Query(int k,int val)
    {
        int ans=0;
        while(k) 
        {
            ans=max(ans,tree.query(root[k],1,N,val));
            k-=lowbit(k);
        }
        return ans;
    }
    void Change(int k,int pos,int val)
    {
        while(k<=N)
        {
            tree.change(root[k],1,N,pos,val);
            k+=lowbit(k);
        }
    }
}BIT;
int main()
{
    //freopen("heoi2016_seq.in","r",stdin);
    //freopen("heoi2016_seq.out","w",stdout);
    N=read();M=read();
    for(int i=1;i<=N;i++) MX[i]=MI[i]=a[i]=read();
    for(int i=1;i<=M;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        MX[x]=max(MX[x],y);BIT.N=max(BIT.N,MX[x]);
        MI[x]=min(MI[x],y);
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        int now=BIT.Query(MI[i],a[i])+1;
        BIT.Change(a[i],MX[i],now);
        ans=max(ans,now);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}