网络最大流算法—Dinic算法及优化

前置知识

网络最大流入门

前言

Dinic在信息学奥赛中是一种最常用的求网络最大流的算法。

它凭借着思路直观，代码难度小，性能优越等优势，深受广大oier青睐

思想

$Dinic$算法属于增广路算法。

它的核心思想是：对于每一个点，对其所连的边进行增广，在增广的时候，每次增广“极大流”

这里有别于EK算法，EK算法是从边入手，而Dinic算法是从点入手

在增广的时候，对于一个点连出去的边都尝试进行增广，即多路增广

Dinic算法还引入了分层图这一概念，即对于$i$号节点，用$dis(i)$表示它到源点的距离，并规定，一条边能够被增广，当且仅当它连接的两个点$u,v$满足：$dis(v)=dis(u)+1$，这样可以大大优化其时间复杂度。

实现

有了上面的知识，Dinic实现起来也就比较简单了。

每次BFS构造分层图（注意必须每次都重新构造，因为每次增广之后会删除一些无用的边，也就会删除一些无用的点）

然后从源点开始多路增广

优化

• 当前弧优化：对于每个点，我们记录下它已经增广了哪些边，当再次回到这个点的时候，无视已经增广过的边，从下一条边开始增广
• 分层优化（自己xjb起的名字）：在进行分层的时候，找到汇点立即退出
• 剩余量优化（也是自己起的）：在进行增广的时候，如果该节点已经没有流量，直接退出

时间复杂度

Dinic算法的理论时间复杂度为$O(n^2*m)$

证明可以看这里

但是！

Dinic算法的性能在比赛中表现的非常优越。

按照集训队大佬ly的说法，我们可以认为Dinic算法的时间复杂度是线性的（比某标号算法不知道高到哪里去了）

代码

题目链接

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define AddEdge(x,y,z) add_edge(x,y,z),add_edge(y,x,0);
using namespace std;
const int MAXN=1e6+1;
const int INF=1e8+10;
inline char nc()
{
    static char buf[MAXN],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,MAXN,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
    char c=nc();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=nc();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=nc();}
    return x*f;
}
int N,M,S,T;
struct node
{
    int v,flow,nxt;
}edge[MAXN*4];
int head[MAXN],cur[MAXN],num=0;//注意这里必须从0开始 
inline void add_edge(int x,int y,int z)
{
    edge[num].v=y;
    edge[num].flow=z;
    edge[num].nxt=head[x];
    head[x]=num++;
}
int deep[MAXN],q[MAXN];
inline bool BFS()
{
    memset(deep,0,sizeof(deep));
    deep[S]=1;
    int l=0,r=1;
    q[++l]=S;
    while(l<=r)
    {
        int p=q[l++];
        for(int i=head[p];i!=-1;i=edge[i].nxt)
            if(!deep[edge[i].v]&&edge[i].flow)
            {
                deep[edge[i].v]=deep[p]+1;q[++r]=edge[i].v;
                if(edge[i].v==T) return 1;//当找到汇点的时候直接返回 快30ms 
            }
    }
    return deep[T];
}
int DFS(int now,int nowflow)
{
    if(now==T)    return nowflow;
    int totflow=0;//从这个点总共可以增广多少流量 
    for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt)//当前弧优化 快150ms 
    {
        if(deep[edge[i].v]==deep[now]+1&&edge[i].flow)//只有满足距离要求与流量要求的点才能进行增广 
        {
            int canflow=DFS(edge[i].v,min(nowflow,edge[i].flow));
            edge[i].flow-=canflow;edge[i^1].flow+=canflow;//增广 
            totflow+=canflow;
            nowflow-=canflow;
            if(nowflow<=0) break; //当前点已经没有流量  快100ms 
        }
    }
    return totflow;
}
void Dinic()
{
    int ans=0;
    while(BFS())//每次构造分层图 
    {
        memcpy(cur,head,sizeof(head)); //当前弧优化 
        ans+=DFS(S,INF);//进行增广 
    }
    printf("%d",ans);
}
int main()
{
    #ifdef WIN32
    freopen("a.in","r",stdin);
    #else
    #endif
    N=read();M=read();S=read();T=read();
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=1;i<=M;i++)
    {
        int x,y,z;
        x=read();y=read();z=read();
        AddEdge(x,y,z);
    }
    Dinic();
    return  0;
}