欧几里得算法与扩展欧几里得算法

注意：欧几里得算法和扩展欧几里得算法是解决不同问题的两种，其中扩展欧几里得算法需要用到欧几里得算法

update in 2018.8.22：补充欧几里得算法及其相关证明

欧几里得算法

欧几里得算法是用来求$(a, b)$的最大公约数

若$d mid a$且$d mid b$，则称$d$为$(a, b)$的公约数

在$(a, b)$的公约数中，最大的$d$成为$(a, b)$的最大公约数

设$gcd(a, b)$表示$(a, b)$的最大公约数

性质1：$gcd(a, b) = gcd(a - b, b)$

证明：

不妨设$a > b$，$d = gcd(a, b)$

那么$a = dx$，$b = dy$。其中$x > y$

那么$a - b = d(x - y)$

即$gcd(a, b ) = gcd(dx, dy) = gcd(d(x - y), dy) = d = gcd(a - b, b)$

性质2：$gcd(a , b) = gcd(a \% b, b)$

证明：由性质1及模运算的性质不难得到

这样直接递归计算即可，每次递归都有一个数减小一半

因此复杂度为$log(a + b)$

扩展欧几里得算法

用途

当我们已知$a,b$

扩展欧几里得算法可以求出满足$a*x+b*y=gcd(a,b)$的$(x,y)$解集

$gcd(a,b)$表示$a,b$的最大公约数

前导知识

上面有证明。

$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

$gcd(a,0)=0$

$a\%b=a-a/b*b$

推导过程

其实扩展欧几里得的推导过程挺自然的

$a*x+b*y$

$=gcd(a,b)$

$=gcd(b,a\%b)$

$=b*x+(a\%b)*y$

$=b*x+(a-a/b*b)*y$

$=b*x+a*y-a/b*b*y$

$=a*y+b*x-a/b*b*y$

$=a*y+(x-y*a/b)*b$

这样不断的递归下去

当$b=0$时

$x=1,y=0$

代码

注意：

我们在求$(x-y*a/b)$的时候需要用到上一层的$x$

但此时上一层$x$已经被赋值成了$y$

所以我们需要开一个中间变量来记录上一层的$x$

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if(!b) {x = 1; y = 0; return a;}
    int r = exgcd(b, a % b, x, y);
    int tmp = x; x = y, y = tmp - a / b * y;
    return r;
}

应用

1

扩展欧几里得最重要的应用就是求形如$a*x+b*y=c$的解

那么如何求呢？

首先，这个方程能够能力的条件是$c\%gcd(a,b)=0$，这个应该比较显然

根据前面将的扩展欧几里得算法

我们可以先求出$a*x_0+b*y_0=gcd(a,b)$的解$x_0,y_0$

然后方程两边同时除以$gcd(a,b)$

就得到$a*x_0/gcd(a,b)+b*y_0/gcd(a,b)=1$的解

再在方程两边同乘$c$

就得到了方程

$a*x_0/gcd(a,b)*c+b*y_0/gcd(a,b)*c=c$

是不是很简单？

2

若$gcd(a,b)=1$，且$x0,y0$为$a*x+b*y=c$的一组解，则该方程的任一一解可以表示为

$x=x_0+b*t,y=y_0-a*t$

证明:

$a*x+b*y$

$=a*(x_0+b*t)+b*(y_0-a*t)$

$=a*x_0+a*b*t+b*y_0-a*b*t$

$=a*x_0+b*y_0$

例题

洛谷P1516 青蛙的约会

根据题目要求列出等式，化简即可

题解

洛谷P2421 [NOI2002]荒岛野人

题解