类欧几里得算法学习笔记

类欧几里得算法

这种东西。。。了解了解愉悦一下身心吧。只学了最简单的一种，其他的一坨扩展等哪天心情好了再看。

设(f(n, a, b, c) = sum_{i=0}^n lfloor frac{ai + b}{c} floor)

我们要计算的就是(f(n, a, b, c))，如果认为(n, a, b, c)同阶的话，我们可以做到(log n)的复杂度

前置知识

一些关于取整的小结论

(a < lfloor frac{b}{c} floor Leftrightarrow ac < b)

(a > lceil frac{b}{c} ceil Leftrightarrow ac > b)

(a leqslant lfloor frac{b}{c} floor Leftrightarrow ac leqslant b)

(a geqslant lceil frac{b}{c} ceil Leftrightarrow ac geqslant b)

(lfloor frac{b}{c} floor = lceil frac{b-c+1}{c} ceil)

(lceil frac{b}{c} ceil = lfloor frac{b+c-1}{c} floor)

然后就可以推柿子啦

神仙推导

[egin{aligned} f(n, a, b, c) &=sum_{i=0}^n lfloor frac{ai + b}{c} floor\ &=sum_{i=0}^{n} sum_{j=0}^{lfloor frac{ai + b}{c} floor - 1} 1 \ &=sum_{j=0}^{lfloor frac{an+b}{c} floor -1} sum_{i=0}^n (j < lfloor frac{ai+b}{c} floor)\ &=sum_{j=0}^{lfloor frac{an+b}{c} floor -1} sum_{i=0}^n (j < lceil frac{ai+b-c+1}{c})\ &=sum_{j=0}^{lfloor frac{an+b}{c} floor -1} sum_{i=0}^n (cj < ai + b - c + 1)\ &=sum_{j=0}^{lfloor frac{an+b}{c} floor -1} sum_{i=0}^n (i > lfloor frac{cj-b+c-1}{a} floor)\ &=sum_{j=0}^{lfloor frac{an+b}{c} floor -1} n - lfloor frac{cj-b+c-1}{a} floor\ &=n * lfloor frac{an+b}{c} floor - sum_{j=0}^{lfloor frac{an+b}{c} floor -1} lfloor frac{cj-b+c-1}{a} floor\ &=n * lfloor frac{an+b}{c} floor - f(lfloor frac{an+b}{c} floor -1, c, c-b-1, a) end{aligned} ]

然后就能递归算了，每次范围会至少折半，因此复杂度为(log n)