• 高等代数9 欧几里得空间


    高等代数9 欧几里得空间



    定义与基本性质

    内积 欧几里得空间

    (V)是实数域(R)上的一线性空间,在(V)上定义了一个二元函数,称为内积,记作((alpha,eta)),它具有以下性质:

    1. ((alpha,eta)=(eta,alpha))
    2. ((kalpha,eta)=k(alpha,eta))
    3. ((alpha+eta,gamma)=(alpha,gamma)+(alpha,gamma))
    4. ((alpha,alpha)geq 0),当且仅当(alpha=0)((alpha,alpha)=0)

    在这里(alpha,eta,gamma)(V)中任意的向量,(k)是任意的实数,这样的线性空间称欧几里得空间或简称为欧氏空间

    常见的欧几里得空间举例

    1. 线性空间(R^n),对于向量(alpha=(a_1,a,cdots,a_n),eta=(b_1,b_2,cdots,b_n))

      定义内积 ((alpha,eta)=a_1b_1+a_2b_2+cdots+a_nb_n)

    长度

    • 定义

      非负实数(sqrt{(alpha,alpha)})称为向量(alpha)长度,记作(|alpha|)

      (|kalpha|=sqrt{(kalpha,kalpha)}= sqrt{k^2(alpha,alpha)}=|k||alpha|)

    单位向量

    长度为1的向量称为单位向量

    单位化

    用向量(alpha)的长度去除向量(alpha),得到一个与(alpha)成比例的单位向量,通常称把(alpha)单位化。

    (frac{1}{|alpha|}alpha)

    不等式

    柯西—布涅柯夫斯基不等式

    • 柯西—布涅柯夫斯基不等式

      对任意的向量(alpha、eta)

      [|(alpha,eta)|leq |alpha| |eta| ]

      当且仅当(alpha,eta)线性相关时,等号成立。

    夹角

    • 定义 夹角

      非零向量(alpha,eta)的夹角定义为

      (<alpha,eta>=arccosfrac{(alpha,eta)}{|alpha||eta|},0leq <alpha,eta> leq pi)

    垂直 正交

    • 定义 垂直 正交

      如果向量(alpha,eta)的内积为零,即 ((alpha,eta)=0)

      那么(alpha,eta)称为正交或互相垂直,记作(alpha perp eta)

    勾股定理

    当向量(alpha,eta)正交时 (|alpha+eta|^2=|alpha|^2+|eta|^2)

    当向量(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_m)两两正交时 (|alpha_1+alpha_2+cdots+alpha_m|^2=|alpha_1|^2+|alpha_2|^2+cdots+|alpha_m|^2)

    度量矩阵

    (V)是一个(n)维欧几里得空间,在(V)中取一组基(varepsilon_1,varepsilon_2,cdots,varepsilon_n),对(V)中任意两个向量

    (alpha=x_1varepsilon_1+x_2varepsilon_2+cdots+x_nvarepsilon_n \eta=y_1varepsilon_1+y_2varepsilon_2+cdots+y_nvarepsilon_n)

    根据乘积的性质得

    [(alpha,eta)=(x_1varepsilon_1+x_2varepsilon_2+cdots+x_nvarepsilon_n ,y_1varepsilon_1+y_2varepsilon_2+cdots+y_nvarepsilon_n) \ =sum_{i=1}^nsum_{j=1}^n(varepsilon_i,varepsilon_j)x_iy_j ]

    (a_{ij}=(varepsilon_i,varepsilon_j) (i,j=1,2,cdots,n) \a_{ij=a_{ji}})

    于是

    [(alpha,eta)=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^na_{ij}x_iy_j \ =X'AY \ X=left ( egin{matrix} x_{1} \ x_{2} \ vdots \ x_{n} \ end{matrix} ight ) Y= left ( egin{matrix} y_{1} \ y_{2} \ vdots \ y_{n} \ end{matrix} ight ) \ A=(a_{ij})_{nn} ]

    (X,Y)分别是(alpha,eta)的坐标,而矩阵(A=(a_{ij})_{nn})称为基(varepsilon_1,varepsilon_2,cdots,varepsilon_n)度量矩阵

    • 不同基的度量矩阵是合同的
    • 度量矩阵是正定的

    标准正交基

    • 定义 正交向量组

      欧氏空间(V)中一组非零的向量,如果它们两两正交,就称为正交向量组

      正交向量组是线性无关的。

    • 定义 标准正交基

      (n)维欧氏空间中,由(n)个向量组组成的正交向量组称为正交基

      由单位向量组成的正交基称为标准正交基

      一组基为标准正交基的充分必要条件是:它的度量矩阵为单位矩阵

      (n)维欧式空间中,标准正交基是存在的。

    在标准正交基下,向量的坐标可以通过内积简单地表示出来

    [alpha=(varepsilon_1,alpha)varepsilon_1+(varepsilon_2,alpha)varepsilon_2+cdots+(varepsilon_n,alpha)varepsilon_n \ alpha=x_1varepsilon_1+x_2varepsilon_2+cdots+x_nvarepsilon_n \ x_i =(varepsilon_i,alpha) (i=1,2,cdots,n) ]

    在标准正交基下,内积具有简单的形式

    [alpha=x_1varepsilon_1+x_2varepsilon_2+cdots+x_nvarepsilon_n \ eta=y_1varepsilon_1+y_2varepsilon_2+cdots+y_nvarepsilon_n \ 那么 (alpha,eta)=x_1y_1+x_2y_2+cdots+x_ny_n=X'Y ]

    求标准正交基

    扩充

    从任意非零向量出发,逐个扩充,得到正交基;再单位化得到标准正交基。

    • 定理

      (n)维欧式空间中的任一个正交向量组都能扩充为一组正交基。

    (alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_m)是一正交向量组

    因为(m <n)一定还有向量(eta)不能被(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_m)线性表出

    做向量(alpha_m=eta-k_1alpha_1-k_2alpha_2-cdots-k_malpha_m),这里(k_1,cdots,k_m)是待定系数。

    (alpha_i)(alpha_{m+1})作内积,得((alpha_i,alpha_{m+1})=(eta,alpha_i)-k_i(alpha_i,alpha_i)(i=1,2,cdots,m))

    (k_i=frac{(eta,alpha_i)}{(alpha_i,alpha_i)} (i=1,2,cdots,m))

    ((alpha_i,alpha_{m+1})=0(i=1,2,cdots,m))

    (eta)的选择可知(alpha_{m+1} eq 0)

    因此(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_m,alpha_{m+1})是一正交向量组。

    施密特正交化

    把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组

    • 对于(n)维欧氏空间中任意一组基(varepsilon_1,varepsilon_2,cdots,varepsilon_n),都可以找到一组标准正交基(eta_1,eta_2,cdots,eta_n),使

      (L(varepsilon_1,varepsilon_2,cdots,varepsilon_i)=L(eta_1,eta_2,cdots,eta_i),i=1,2,cdots,n)

    (L(varepsilon_1,varepsilon_2,cdots,varepsilon_i)=L(eta_1,eta_2,cdots,eta_i),i=1,2,cdots,n)就相当于由基(varepsilon_1,varepsilon_2,cdots,varepsilon_n)到基(eta_1,eta_2,cdots,eta_n)的过渡矩阵是上三角形的。

    从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式

    [egin{cases} eta_1=a_{11}varepsilon_1 +a_{12}varepsilon_2+cdots +a_{1n}varepsilon_n \ eta_2=a_{21}varepsilon_1 +a_{22}varepsilon_2+cdots +a_{2n}varepsilon_n \ cdots cdots \ eta_n=a_{n1}varepsilon_1 +a_{n2}varepsilon_2+cdots +a_{nn}varepsilon_n \ end{cases} \ (eta_1,eta_2,cdots,eta_n) =(varepsilon_1,varepsilon_2,cdots,varepsilon_n) left ( egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{s1} & a_{s2} & cdots & a_{sn} \ end{matrix} ight ) \ (eta_i,eta_j)= egin{cases} 1 ,&当i=j\ 0 ,&当i eq j\ end{cases} \ ]

    矩阵(A)的各列就是(eta_1,eta_2,cdots,eta_n)在标准正交基(varepsilon_1,varepsilon_2,cdots,varepsilon_n)下的坐标,按着公式(5),公式(6)可以写成

    [a_{1i}a_{1j}+a_{2i}a_{2j}+cdots+a_{ni}a_{nj}= egin{cases} 1 ,&当i=j\ 0 ,&当i eq j\ end{cases} \ A'A=E \ A^{-1}=A' ]

    正交矩阵

    • 定义 正交矩阵

      (n)级实数矩阵(A)称为正交矩阵,如果(A'A=E)

    由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;

    反过来,如果第一组基是标准正交基,同时过渡矩阵是正交矩阵,那么第二组基也一定是标准正交基。

    同构

    • 定义

      实数域(R)上欧氏空间(V)(V')称为同构的,如果由(V)(V')有一个双射(sigma),满足

      1. (sigma(alpha+eta)=sigma(alpha)+sigma(eta));
      2. (sigma(kalpha)=ksigma(alpha));
      3. ((sigma(alpha),sigma(eta))=(alpha,eta))

      这里(alpha ,eta in V,kin R)

    这样的映射称为从(V)(V')同构映射

    从定义可以看出,如果(sigma)是欧式空间(V)(V')的一个同构映射,那么(sigma)也是(V)(V')的在线性空间上的同构映射。

    • 同构的欧式空间有相同的维数

    • 每一个(n)维的欧氏空间都与(R^n)同构

    • 同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性,对称性,传递性。

    • 任意两个(n)维欧式空间都同构。

    • 定理

      两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。

    正交变换

    • 定义 正交变换

      设欧氏空间(V)的线性变换(mathscr{A})称为正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对于任意的(alpha,eta in V),都有

      ((mathscr{A}alpha,mathscr{A}eta)=(alpha,eta))

    • 定理

      (mathscr{A})(n)维欧氏空间(V)的一个线性变换,于是下面四个命题是相互等价的

      1. (mathscr{A})是正交变换
      2. (mathscr{A})保持向量的长度不变,即对于(alpha in V,|mathscr{A}alpha|=|alpha|)
      3. 如果(varepsilon_1,varepsilon_2,cdots,varepsilon_n)是标准正交基,那么(mathscr{A}varepsilon_1,mathscr{A}varepsilon_2,cdots,mathscr{A}varepsilon_n)也是标准正交基;
      4. (mathscr{A})在任一祖标准正交基下的矩阵是正交矩阵

    因为正交矩阵是可逆的,所以正交变换是可逆的

    在标准正交基下,正交变换和正交矩阵相对应,所以正交矩阵乘积与正交矩阵的逆还是正交矩阵。

    • 第一类与 第二类

      如果(A)是正交矩阵,那么由(AA'=E),可知(|A|^2=1或|A|=pm1)

      1. 行列式等于1的正交变换通常称为旋转,或者第一类的
      2. 行列式等于-1的正交变换称为第二类的

    子空间

    • 定义 正交的子空间

      (V_1,V_2)是欧氏空间(V)中两个子空间,如果对于任意的(alpha in V_1,eta in V_2),恒有

      ((alpha,eta)=0)

      则称(V_1,V_2)是正交的,记为(V_1 perp V_2)

      一个向量(alpha),如果对于任意的(eta in V_1),恒有

      ((alpha,eta)=0)

      则称(alpha)与子空间正交,记为(alpha perp V_1)

    • 定理

      如果子空间(V_1,V_2,cdots,V_s)两两正交,那么和(V_1+V_2+cdots+V_s)是直和。

    • 定义 正交补

      子空间(V_2)称为子空间(V_2)称为子空间(V_1)的一个正交补,如果(V_1 perp V_2)并且(V_1+V_2=V)

    • 定理

      (n)维欧式空间的每一个子空间都有唯一的正交补。

      推论: (V_1^{perp})恰由所有与(V_1)正交的向量组成

    • 内射影

      由分解式(V=V_1 oplus V_1^{perp})可知

      (V)中任一向量(alpha)都可以唯一分解成(alpha=alpha_1+alpha_2,alpha_1in V_1,alpha_2 in V_1^{perp})

      我们称(alpha_1)为向量(alpha)在子空间(V_1)上的内射影

    实对称矩阵的标准形

    • 任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵

      即存在一个可逆矩阵(C)使(C'AC)成对角形

    现在利用欧式空间的理论,对于实对称矩阵的结构进行加强

    • 引理1(A)是实对称矩阵,则(A)的特征值都是实数

    对应于实对称矩阵(A),在(n)维欧式空间(R^n)中定义一个线性变换(mathscr{A})如下

    [mathscr{A}left ( egin{matrix} x_{1} \ x_{2} \ vdots \ x_{n} \ end{matrix} ight ) = A left ( egin{matrix} x_{1} \ x_{2} \ vdots \ x_{n} \ end{matrix} ight ) ]

    显然(mathscr{A})在标准正交基

    [varepsilon_1=left ( egin{matrix} 1 \ 0 \ vdots \ 0 \ end{matrix} ight ) , varepsilon_2= left ( egin{matrix} 0\ 1 \ vdots \ 0 \ end{matrix} ight ) , cdots, varepsilon_n= left ( egin{matrix} 0\ 0 \ vdots \ 1 \ end{matrix} ight ) ]

    下的矩阵就是(A)

    • 引理2

      (A)是实对称矩阵,(mathscr{A})定义如上,

      则对任意(alpha ,eta in R^n)

      [(mathscr{A}alpha,eta)=(alpha,mathscr{A}eta)\ 或 eta'(Aalpha)=alpha'Aeta ]

    • 定义 对称变换

      欧式空间中满足等式(10)的线性变换称为对称变换。

    • 引理3

      (mathscr{A})是对称变换,(V_1)(mathscr{A}-)子空间,则(V_1^{perp})也是(mathscr{A}-)子空间。

    • 引理4

      (A)是实对称矩阵,则(R^n)中属于(A)的不同特征值的特征向量必正交。

    • 定理
      对于任意一个(n)级实对称矩阵(A),都存在一个(n)级正交矩阵(T),使(T'AT=T^{-1}AT)成对角形。

      正交矩阵T的求法

      1. 求出(A)的特征值,设(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_r)就是(A)的全部不同的特征值。

      2. 对于每个(lambda_i),解齐次线性方程组

        [(lambda_iE-A) left ( egin{matrix} x_{1} \ x_{2} \ vdots \ x_{n} \ end{matrix} ight ) =0 ]

        求出一个基础解系,这就是(A)的特征子空间(V_{lambda_i})的一组基。

        由这组基出发,求出一组标准正交基

      3. 正交矩阵(T)就由特征向量组成

    • 定理

      任意一个实二次型 (sum_{i=1}^n sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j,a_{ij}=a_{ji})

      都可以经过正交的线性替换变为平方和(lambda_1y_1^2+lambda_2y_2^2+cdots+lambda_ny_n^2),其中平方项的系数(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n)就是矩阵(A)的特征多项式全部的根

    向量到子空间的距离 最小二乘法

    • 定义 距离

      长度(|alpha -eta|)称为向量(alpha)(eta)的距离,记为(d(alpha,eta))

      距离的三条基本性质:

      1. (d(alpha,eta)=d(eta,alpha));
      2. (d(alpha,eta)geq 0)并且仅当(alpha=eta)时等号才成立;
      3. (d(alpha,eta)leq d(alpha,gamma)+d(gamma,eta))(三角不等式);

    最小二乘法问题

    线性方程组

    [egin{cases} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+cdots +a_{1n}x_n=b_1 \ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+cdots +a_{2n}x_n=b_2 \ cdots cdots \ a_{s1}x_1 +a_{s2}x_2+cdots +a_{sn}x_n=b_s \ end{cases} ]

    可能无解。

    即任何一组数(x_1,x_2,cdots,x_n)都可能使

    [sum_{i=1}^n(a_{i1}x_1 +a_{i2}x_2+cdots +a_{in}x_n-b_i) ]

    不等于零。

    我们设法找(x_1^0,x_2^0,cdots,x_s^0)使((13))最小,这样的(x_1^0,x_2^0,cdots,x_s^0)称为方程组的最小二乘解

  • 相关阅读:
    OpenStack之Fuel架构及其工作原理
    Docker容器常用命令汇总
    openstack 5大组件之间的关系和基本架构思维导图
    LeetCode刷题实战4:寻找两个正序数组的中位数
    LeetCode刷题实战3:无重复字符的最长子串
    LeetCode刷题实战2:两数相加
    LeetCode刷题实战1:两数之和
    剑指Offer 05. 替换空格
    剑指Offer 03. 数组中重复的数字
    TensorFlow2.0(4):填充与复制
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zuti666/p/13604794.html
Copyright © 2020-2023  润新知