高等代数5 二次型

高等代数 5 二次型

二次型

二次型及其矩阵表示

• 设(P)是一数域，一个系数在数域(P)中的(x_1,x_2,cdots,x_n)的二次齐次多项式

[f(x_1,x_2,cdots,x_n)= a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+cdots+2a_{1n}x_1x_n\ +a_{22}x_2^2+cdots+2a_{2n}x_2x_n+cdots \ +a_{nn}x_n^2 ]

称为数域(P)上一个(n)元二次型，或简称为二次型。

• 把（1）的系数排成一个(n imes n)矩阵

[A= left ( egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight ) ]

它就称为二次型（1）的矩阵。

​ 因为(a_{ij}=a_{ji},i,j=1,cdots,n)，所以，(A'=A)。因此二次型的矩阵都是对称的。

• 令
  [X=left ( egin{matrix} x_1 \ x_2 \ vdots \ x_n \ end{matrix} ight ) ]
  于是二次型可以用矩阵的乘积表示出来
  [X'AX=(x_1,x_2,cdots,x_n)left ( egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight )left ( egin{matrix} x_1 \ x_2 \ vdots \ x_n \ end{matrix} ight )=f(x_1,x_2,cdots,x_n) ]

二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。

线性替换及其矩阵表示

• 线性替换 设(x_1,cdots,x_n;y_1,cdots,y_n)是两组文字，系数在数域(P)中的一组关系式

  [egin{cases} x_1=c_{11}y_1 +c_{12}y_2+cdots +c_{1n}y_n \ x_2=c_{21}y_1 +c_{22}y_2+cdots +c_{2n}y_n\ cdots cdots \ x_n=c_{n1}y_1 +c_{n2}y_2+cdots +c_{nn}y_n \ end{cases} ]

  称为由(x_1,cdots,x_n)到(y_1,cdots,y_n)的一个线性替换。

  如果系数行列式(|c_{ij}| eq 0)，那么线性替换（5）就称为非退化的。

  线性替换把二次型变成二次型。

• 令

  [C=left ( egin{matrix} c_{11} & c_{12} & cdots & c_{1n} \ c_{21} & c_{22} & cdots & c_{2n} \ vdots & vdots & & vdots \ c_{n1} & c_{n2} & cdots & c_{nn} \ end{matrix} ight )， Y= left ( egin{matrix} y_1 \ y_2 \ vdots \ y_n \ end{matrix} ight ) ]

  线性替换可以写成

  [left ( egin{matrix} x_1 \ x_2 \ vdots \ x_n \ end{matrix} ight ) = left ( egin{matrix} c_{11} & c_{12} & cdots & c_{1n} \ c_{21} & c_{22} & cdots & c_{2n} \ vdots & vdots & & vdots \ c_{n1} & c_{n2} & cdots & c_{nn} \ end{matrix} ight ) left ( egin{matrix} y_1 \ y_2 \ vdots \ y_n \ end{matrix} ight ) ]

  或者 (X=CY)

• 替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系

  [f(x_1,x_2,cdots,x_n)=X'AX=(CY)'A(CY)=Y'(C'AC)Y=Y'BY ]

  因此 (B=C'AC)

合同变换

• 定义 数域(P)上(n imes n)矩阵(A,B)称为合同的，如果有数域(P)上可逆的(n imes n)矩阵(C)，使 (B=C'AC)

  合同是矩阵之间的一个关系。合同关系具有

  1. 自反性 (A=E'AE)
  2. 对称性 由 (B=C'AC)可以得到(A=(C^{-1})'BC^{-1})
  3. 传递性 由(A_1=C_1'AC_1,A_2=C_2’AC_2)即得(A_2=(C_1C_2)'A(C_1C_2))

  因此，经过非退化的线性替换，新的二次型的矩阵与二次型的矩阵是合同的。

标准形

• 数域(P)上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(d_1x_1^2+d_2x_2^2+cdots+d_nx_n^2)的形式.

二次型(f(x_1，x_2,cdots,x_n))经过非退化线性替换所变成的平方和称为(f(x_1，x_2,cdots,x_n))的一个标准形。

对应的矩阵是对角矩阵

[d_1x_1^2+d_2x_2^2+cdots+d_nx_n^2\ = (x_1,x_2,cdots,x_n)left ( egin{matrix} d_1 & 0 & cdots & 0 \ 0 & d_2 & cdots & 0 \ vdots & vdots & & vdots \ 0 & 0 & cdots & d_n \ end{matrix} ight )left ( egin{matrix} x_1 \ x_2 \ vdots \ x_n \ end{matrix} ight ) ]

• 在数域(P)上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵。

• 在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所做的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩

• 在一般的数域中，二次型的标准形不是唯一的而与所作的非退化的线性替换有关。

• 配方法

  • (a_{ii}(i=1,2,cdots,n))中至少有一个不为零，不妨设(a_{11} eq 0)，这时
    [f(x_1,x_2,cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+sum_{j=2}^n{a_{1j}x_1x_j}+sum_{i=2}^n{a_{i1}x_ix_1}+sum_{i=2}^nsum_{j=2}^{n}{a_{ij}x_ix_j} \ =a_{11}x_1^2+2sum_{j=2}^n{a_{1j}x_1x_j}+sum_{i=2}^nsum_{j=2}^{n}{a_{ij}x_ix_j} (合并x_1出现的交叉项)\ =a_{11}(x_1+sum_{j=2}^n{a_{11}^{-1}a_{1j}x_j})^2-a_{11}^{-1}(sum_{j=2}^n{a_{1j}x_j})^2+sum_{i=2}^nsum_{j=2}^{n}{a_{ij}x_ix_j} (把x_1凑成平方和) \ =a_{11}(x_1+sum_{j=2}^n{a_{11}^{-1}a_{1j}x_j})^2+sum_{i=2}^nsum_{j=2}^{n}{b_{ij}x_ix_j} \ 这里sum_{i=2}^nsum_{j=2}^{n}{b_{ij}x_ix_j}=-a_{11}^{-1}(sum_{j=2}^n{a_{1j}x_j})^2+sum_{i=2}^nsum_{j=2}^{n}{a_{ij}x_ix_j}是一个x_2,x_3,cdots,x_n的二次型 ]
    令
    [egin{cases} y_1=x_1+sum_{j=2}^{n}{a_{11}^{-1}a_{1j}x_j} \ y_2=x_2\ cdots cdots \ y_n=x_n \ end{cases} ]
    即
    [egin{cases} x_1=y_1-sum_{j=2}^{n}{a_{11}^{-1}a_{1j}y_j} \ x_2=y_2\ cdots cdots \ x_n=y_n \ end{cases} ]
    这是一个非退化线性替换，它使
    [f(x_1,x_2,cdots,x_n)=a_{11}y_1^2+sum_{i=2}^nsum_{j=2}^{n}{b_{ij}y_iy_j} ]

• 所有(a_{ii}=0)，但至少有一(a_{qj} eq 0(j>1))，不妨设(a_{12} eq 0)

  令

  [ egin{cases} x_1=z_1+z_2 \ x_2=z_1-z_2\ x_3=z_3\ cdots cdots \ x_n=z_n \ end{cases} ]

  它是非线性替换，且使

  [ f(x_1，x_2,cdots,x_n)=2a_{12}x_1x_2+cdots \ =2a_{12}(z_1+z_2)(z_1-z_2)+cdots \ =2a_{12}z_1^2-2a_{12}z_2^2 ]

  这时上式右端是(z_1,z_2,cdots,z_n)的二次型，且(z_1^2)的系数不为零。

• 合同变换法

  • (a_{11} eq 0).这时的变数替换为

    [egin{cases} x_1=y_1-sum_{j=2}^{n}{a_{11}^{-1}a_{1j}y_j} \ x_2=y_2\ cdots cdots \ x_n=y_n \ end{cases} ]

    令

    [C_1= left ( egin{matrix} 1 & -a_{11}^{-1}a_{12} & cdots & -a_{11}^{-1}a_{1n} \ 0 & 1 & cdots & 0 \ vdots & vdots & & vdots \ 0 & 0 & cdots & 1 \ end{matrix} ight ) ]

    则上述变数替换相应于合同变换

    [A ightarrow C_1^{'}AC_1= left ( egin{matrix} a_{11} & O \ O &A_1-a_{11}^{-1}a'a\ end{matrix} ight )\ 这里 a=(a_{12},cdots,a_{1n}),A_1=left ( egin{matrix} a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & & vdots \ a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{matrix} ight ) ]

  • (a_{ii}=0,i=1,cdots,n)但有一(a_{ij} eq0,j eq1)

    作合同变换(P(2,j)'AP(2,j)) 可以把(a_{1j})搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中第二种情况。

    与第二种情形的变数替换相对应，取

    [C_1= left ( egin{matrix} 1 & 1 &0& cdots & 0 \ 1 & -1 &0& cdots & 0 \ 1 & 1 &1& cdots & 0 \ vdots & vdots & vdots& cdots & 0 \ 0 & 0 &0& cdots & 1 end{matrix} ight ) ]

    于是(C_1'AC_1)的左上角就是

    [left ( egin{matrix} a_{12} & 0 \ 0 & -2a_{12} \ end{matrix} ight ) ]

    可以归结到第一种情形

规范形

• 复二次型的规范形

  设(f(x_1,x_2，cdots,x_n))是一个复系数的二次型，经过一系列适当的非退化线性替换后，(f(x_1,x_2,cdots,x_n))变成标准形。

  不妨假定它的标准形是(d_1y_1^2+d_2y_2^2+cdots+d_ry_r^2,d_i eq 0,i=1,2,cdots,r)，易知(r)就是(f(x_1,x_2，cdots,x_n))的秩。

  因为复数总是可以开平方的，我们再做一个非退化的线性替换

  [egin{cases} y_1=frac{1}{sqrt{d_1}}z_1 \ cdots cdots \ y_r=frac{1}{sqrt{d_r}}z_r\ cdots cdots \ y_{r+1}=z_{r+1}\ cdots cdots \ y_n=z_n \ end{cases} ]

  就变成

  [z_1^2+z_2^2+cdots+z_r^2 ]

  上式称为复二次型的规范形

• 定理 任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化线性替换可以变成规范形，并且规范形是唯一的

• 定理 任一复数的对称矩阵都合同于一个形式为

  [left ( egin{matrix} 1 & & & & & &\ &ddots & & & & & \ & & 1 & & & & \ & & & 0& & & \ & & & &ddots & & \ & & & & & & 0 \ end{matrix} ight ) ]

  的对角矩阵，其中对角线上1的个数(r)等于(A)的秩。

  两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等。

• 实二次型的规范形

  设(f(x_1,x_2，cdots,x_n))是一个实系数的二次型，经过一系列适当的非退化线性替换后，再适当排列文字的次序，可使(f(x_1,x_2,cdots,x_n))变成标准形

  [d_1y_1^2+cdots+d_py_p^2-d_{p+1}y_{p+1}^2-cdots-d_ry_r^2,d_i>0,i=1,cdots,r;r是二次型的秩 ]

  因为在实数域中，正实数总是可以开平方的，我们再做一个非退化的线性替换

[egin{cases} y_1=frac{1}{sqrt{d_1}}z_1 \ cdots cdots \ y_r=frac{1}{sqrt{d_r}}z_r\ y_{r+1}=z_{r+1}\ cdots cdots \ y_n=z_n \ end{cases} ]

​ 就变成

[z_1^2+cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-cdots-z_{r}^2 ]

​ 上式称为实二次型的规范形，显然，规范形完全被(r,p)这两个数所决定。

• 定理 任意一个实系数的二次型，经过一个适当的非退化线性替换可以变成规范形，并且规范形是唯一的。

• 任一复数的对称矩阵都合同于一个形式为

  [left ( egin{matrix} 1 & & & & & &\ &ddots & & & & & \ & & 1 & & & & \ & & & -1& & & \ & & & &ddots & & \ & & & & & & -1 \ & & & & & & &0 \ & & & & & & & &ddots \ & & & & & & & & &0 \ end{matrix} ight ) ]

  的对角矩阵,其中对角线上1的个数(p)及-1的个数(r-p)（(r)是矩阵(A)的秩）都是唯一确定的，分别称为(A)的正、负惯性指数，它们的差(2p-r)称为(A)的符号差。

  两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等。

正定二次型

正定二次型

• 定义 正定二次型 实二次型(f(x_1,x_2，cdots,x_n))称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数(c_1,c_2,cdots,c_n)都有(f(c_1,c_2，cdots,c_n))>0。
• 定理 (n)元实二次型(f(x_1,x_2，cdots,x_n))是正定的的充分必要条件是它的正惯性指数等于(n)。

正定矩阵

• 定义 正定矩阵 实对称矩阵(A)称为正定的，如果二次型(X'AX)正定。
• 一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同。
  • 正定矩阵的行列式大于零。

顺序主子式

• 定义 顺序主子式

  子式

  [H_i=left | egin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1i} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2i} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{ii} \ end{matrix} ight | (i=1,2,cdots,n) ]

  称为矩阵(A=(a_{ij})_{nn})的顺序主子式。

• 定理 实二次型

  [f(x_1,x_2，cdots,x_n)=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^n{a_{ij}x_ix_j}=X'AX ]

  是正定的充分必要条件为矩阵(A)的顺序主子式全大于零。

• 定义 设(f(x_1,x_2，cdots,x_n))是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数(c_1,c_2,cdots,c_n)

  • 如果都有(f(c_1,c_2，cdots,c_n)<0)，那么(f(x_1,x_2，cdots,x_n)) 称为负定的；
  • 如果都有(f(c_1,c_2，cdots,c_n)geq0)，那么(f(x_1,x_2，cdots,x_n)) 称为半正定的；
  • 如果都有(f(c_1,c_2，cdots,c_n)leq0)，那么(f(x_1,x_2，cdots,x_n)) 称为半负定的；
  • 如果它既不是半正定又不是半负定，那么(f(x_1,x_2，cdots,x_n)) 称为不定的；

半正定性

• 定理 对于实二次型(f(x_1,x_2，cdots,x_n)=X'AX)，其中(A)是实对称的，下列条件等价：

  1. (f(x_1,x_2，cdots,x_n))是半正定的；

  2. 它的正惯性指数和秩相同；

  3. 有可逆实矩阵(C)，使

     [C'AC= left ( egin{matrix} d_1 & & \ &d_2 & & \ & &ddots & \ & & & d_n \ end{matrix} ight ) ,d_igeq0.i=1,2,cdots,n; ]

  4. 有实矩阵(C)使 (A=C'C)

  5. (A)的所有主子式（行指标与列指标相同的子式）皆大于或等于零。