UVALive 5097 Cross the Wall

贪心思想，$dp$，斜率优化。

首先将人按照$w$从大到小排序，如果$w$一样，按$h$从大到小排。这样一来，某位置之后，比该位置$h$小的都是不需要考虑的。

因此，形成了如下图所示的结果：

即第一个人最宽，但是最矮，最后一个人最瘦但是最高。

接下来考虑这些人怎么挖洞。还是上图，如果第一个人和第三个人都是从同一个洞里通过的，那么中间那个肯定也可以从那个洞里通过的。

也就是说一定是连续的一段人从同一个洞通过，接下来的任务就是如何将这些人分段。

设$dp[i][j]$表示前$i$个人分成了$j$段的最小费用。那么，$dp[i][j]=min(dp[x][j-1]+w[x+1]*h[i])$。

直接算的话，时间复杂度是$O(n*n*k)$的，超时。可以斜率优化。

写出斜率式子后可以发现是维护一个类似下图的曲线：

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const double pi=acos(-1.0),eps=1e-10;
void File()
{
    freopen("D:\in.txt","r",stdin);
    freopen("D:\out.txt","w",stdout);
}
template <class T>
inline void read(T &x)
{
    char c = getchar();
    x = 0;
    while(!isdigit(c)) c = getchar();
    while(isdigit(c))
    {
        x = x * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
}

int n,k;
long long dp[50010][110];
struct X
{
    long long w,h;
}s[50010],tmp[50010];
int q[50010],f1,f2;

bool cmp(X a,X b)
{
    if(a.w!=b.w) return a.w>b.w;
    return a.h>b.h;
}

bool delete1(int t,int a,int b,int c)
{
    if(dp[b][t]+s[b+1].w*s[c].h<=dp[a][t]+s[a+1].w*s[c].h) return 1;
    return 0;
}

bool delete2(int t,int a,int b,int c)
{
    if( (dp[c][t]-dp[b][t])*(s[b+1].w-s[a+1].w)>=
        (dp[b][t]-dp[a][t])*(s[c+1].w-s[b+1].w) ) return 1;
    return 0;
}


int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&k))
    {
        k=min(n,k);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&tmp[i].w,&tmp[i].h);
        sort(tmp+1,tmp+1+n,cmp); int sz=1;
        s[sz].h=tmp[1].h; s[sz].w=tmp[1].w;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            if(tmp[i].h<=s[sz].h) continue;
            sz++; s[sz].h=tmp[i].h; s[sz].w=tmp[i].w;
        }

        for(int i=1;i<=sz;i++) dp[i][1]=s[1].w*s[i].h;

        for(int j=2;j<=k;j++)
        {
            f1=f2=0; q[0] = j-1;
            for(int i=j;i<=sz;i++)
            {
                while(1)
                {
                    if(f2-f1+1<2) break;
                    if(delete1(j-1,q[f1],q[f1+1],i)) f1++;
                    else break;
                }

                dp[i][j]=dp[q[f1]][j-1]+s[q[f1]+1].w*s[i].h;

                while(1)
                {
                    if(f2-f1+1<2) break;
                    if(delete2(j-1,q[f2-1],q[f2],i)) f2--;
                    else break;
                }

                f2++; q[f2]=i;
            }
        }

        long long ans=dp[sz][1];
        for(int j=2;j<=k;j++) ans=min(ans,dp[sz][j]);
        printf("%lld
",ans);

    }
    return 0;
}