test200411

又是一次不可写的题目

T1 树链剖分

题意

给一棵以1为根的有根树,开始只有1有标记.

每次操作可以给某个点打上标记,或者询问从某个点开始向上跳,遇到的第一个有标记的点.

(n le 10^6 , m le 10^6)

考场想法

题目叫树链剖分，看了看提貌似真的可以树链剖分，就真写了树链剖分……给当前节点的子树全部染上当前这个节点的编号……但我可能没有考虑先到先算先来的，题目意思是只会找最下面的，而我的算法如果更新这个点，那么它的子树都会被影响。然而这显然是错的，因为如果下面有点被标记的话先返回的应该是更靠近下面的。

正解

1. 时间上不稳定算法
   就是树链剖分……在神仙机器和神仙数据下，勉强可以卡过去

2. std
   考虑并查集

仔细分析性质, 如果一个点 x 从始至终都没有被标记, 就可以把 (x) 合并到 (x) 的父亲上去.

于是可以离线下来后倒着做, 将加标记变为删标记.

若一个点没有标记了, 就用并查集将它和它的父亲合并.

查询时直接在并查集中询问即可.

使用路径压缩来实现并查集, 时间复杂度 (O(m log n)) , 期望得分 (100) 分.

T2 天气之子

题意

一共n个人（(n le 10^1000)）

每个人到来时会选择离当前有人位置最远的位置

问最少多少个位置满足条件

第一个人在第一个位置，第二个人就再末尾，第三个再正中间，以此类推

考场想法

乱搞，然后高精度，成功爆炸

正解

打表找规律……

(f(x) = x + 2^{1+[log_{2}{x−2}]})

然后瞎搞高精度……

T3

题意

给定一个正整数 (k) ,以及一棵 (n) 个节点的以 (1) 为根的有根树,边有长度.

记 (LCA(a,b)) 表示 (a) 与 (b) 在树上的最近公共祖先, (dist(a)) 表示树根到 (a) 的距离.

每个节点可以是黑色或白色,初始时每个节点的颜色为白色.

进行 (m) 次操作,每次操作是以下两种形式之一:

修改操作:给出一个修改节点 (x) ,将节点 (x) 染上黑色.保证 (x) 在染色前为白色.

询问操作:给出一个询问节点 (x) ,记所有黑点形成的集合为 (S) ,求出下面式子的值:

[sum_{yin S} F(dist(LCA(x,y))) ]

其中函数 (F) 定义为,

[F(x)=sum_{i=1}^x i^k ]

由于答案可能很大,只需要输出答案对 (P=998244353) 取模的结果.

考试思路

暴力一锤，结果还锤错了

正解

算法二

若 (k=0) ,就是询问 (sum_{yin S} dist(LCA(x,y))) ,是不是很眼熟?

由于 (LCA) 到根的距离就是 (x,y) 到根的路径交集的长度,所以每加入一个点 (y) 时,就将 (y) 到根的路径上所有边的覆盖次数 (+1) ,询问时答案就是 (x) 到根的路径上每条边的长度 ( imes) 它的覆盖次数.

实际上每次给每条边加的权值就是这条边的长度,最后询问 (x) 到根路径上所有边的权值之和.

时间复杂度 (O(nlog^2 n)) ,结合算法一,期望得分 (40) 分.

算法三

利用差分思想,可以较容易地拓展到 (k>0) 的情况.

加入点 (y) 时,仍然给 (y) 到根的路径上所有边加一个权值,设这条边是 (f o u) ,那么加的权值就是 (F(dist(u))-F(dist(f))) ,询问时仍然查询 (x) 到根路径上所有边的权值之和,即差分值之和.

利用快速幂计算 (i^k), 预处理出所有 (F(x)) .时间复杂度 (O(Dlog k +nlog^2 n)) ,期望得分 (70sim 100) 分.

算法四

利用线性筛预处理所有 (F(x)) ,其余做法同算法三.

时间复杂度 (O(D+nlog^2 n)) ,期望得分 (100) 分.