[题解] [Codechef] CNTL

题面

题解

第一问很简单, 如果 (n - k) 是偶数那么答案就是 (2 ^ k - 1) , 如果 (n - k) 是奇数答案就是 (2^k - 2)

第二问怎么办, 我们对于 (n - k) 是偶数讨论

我们要做的是, 对于每一个数, 我们要让他选奇数次最后的答案可能性才会最大

并且所有的数选的次数加起来是 (n)

我们考虑指数型生成函数 (frac{e^x-e^{-x}}{2})

把它展开后, 偶数位都是 (0) , 奇数位都是 (1)

那么我们只要求 (frac{e^x-e^{-x}}{2}^k) 在 (x ^ n) 上的系数即可

如果 (n - k) 是奇数的话就变成求 (frac{e^x-e^{-x}}{2}^{k-1}*frac{e^x+e^{-x}}{2}) 在 (x^n) 上的系数, 即 (1) 取偶数个, 其他的都取奇数个

二项式定理展开即可

注意最后答案还要乘上一个 (n!) 因为我们算出来的是无序方案, 但答案事实上是求有序方案

Code

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
const int N = 100005;
const int mod = 1e9 + 7; 
using namespace std;

int T, n, k, fac[N], inv[N], pow[N], ans; 

template < typename T >
inline T read()
{
	T x = 0, w = 1; char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') w = -1; c = getchar(); }
	while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return x * w; 
}

int fpow(int x, int y)
{
	int res = 1;
	for( ; y; y >>= 1, x = 1ll * x * x % mod)
		if(y & 1) res = 1ll * res * x % mod;
	return res; 
}

int C(int n, int m)
{
	return 1ll * fac[n] * inv[n - m] % mod * inv[m] % mod; 
}

int main()
{
	T = read <int> ();
	for(int i = (pow[0] = fac[0] = 1); i <= 100000; i++)
	{
		fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
		if(i == 1) pow[i] = 1ll * pow[0] * fpow(2, mod - 2) % mod;
		else pow[i] = 1ll * pow[i - 1] * pow[1] % mod;
	}
	inv[100000] = fpow(fac[100000], mod - 2);
	for(int i = 99999; i >= 0; i--)
		inv[i] = 1ll * inv[i + 1] * (i + 1) % mod; 
	while(T--)
	{
		n = read <int> (), k = read <int> (); 
		ans = 0; 
		if(!((n - k) & 1))
		{
			printf("%d ", (fpow(2, k) - 1 + mod) % mod); 
			for(int op = (k & 1 ? mod - 1 : 1), i = 0; i <= k; i++, op = mod - op)
				ans = (ans + 1ll * op * C(k, i) % mod * fpow(2 * i - k + mod, n) % mod) % mod; 
			ans = 1ll * ans * pow[k] % mod; 
			printf("%d
", ans); 
		}
		else
		{
			printf("%d ", (fpow(2, k) - 2 + mod) % mod);
			for(int op = (k & 1 ? 1 : mod - 1), i = 0; i < k; i++, op = mod - op)
				ans = (ans + 1ll * op * C(k - 1, i) % mod * (fpow(2 * i - k + 2 + mod, n) + fpow(2 * i - k + mod, n)) % mod) % mod;
			ans = 1ll * ans * pow[k] % mod;
			printf("%d
", ans); 
		}
	}
	return 0; 
}