相关数学理论和公式（同余问题）

基本定理与概念

---

形如(aequiv b(mod;m))的式子称为同余式

1. (aequiv b(mod;m))当且仅当(m;|;(a-b))
2. 若(aequiv b(mod;m))，(bequiv c(mod;m))，则(aequiv c(mod;m))（传递性）
3. 若(aequiv b(mod;m))，则
   • (a+cequiv b+c(mod;m))
   • (a-cequiv b-c(mod;m))
   • (a imes cequiv b imes c(mod;m))
4. 若(aequiv b(mod;m))，(cequiv d(mod;m))
   • (ax+cy=bx+dy(mod;m))
   • (a imes cequiv b imes d(mod;m))
   • (a^nequiv b^n(mod;m))
   • (f(a)equiv f(b)(mod;m))
5. 若(aequiv b(mod;m))，且(d;|;m)，则(aequiv b(mod;d))

线性同余方程

---

形如(axequiv b(mod;m))的包含未知数的同余式称为一元线性同余方程

1. 若(gcd(a,m)=d)，如果(d;|;b)，则方程有d个模m不同的解，否则无解
2. 求解一元线性同余方程需要使用扩展欧几里德算法，过程如下：
   设(a=d imes a_0)，(m=d imes m_0)，方程变为：
   (a_0x+m_0y=b;/;d)

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
     if(b==0){
         x=1;y=0;
         d=a;return;
     }else{
         exgcd(b,a%b,d,x,y);
         ll tmp=x;
         x=y;
         y=tmp-(a/b)*y;
     }
}
int solve(int a,int b,int m){
     exgcd(a,m,d,x,y);
     if(b%d) return -1;  //无解
     x=x*(b/d)%m;
     for(int i=1;i<=d;i++) ans[i]=(x+(i-1)*m/d)%m;
}

设同余方程组为

[egin {aligned} x&=r_1(mod;a_1)\ x&=r_2(mod;a_2)\ x&=r_3(mod;a_3)\ x&=r_4(mod;a_4)\ &cdots\ x&=r_5(mod;a_5)\ end {aligned} ]

求解一元线性同余方程组(小于m的非负整数解),求解x，例题【POJ 2891】

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
     if(b==0){
         x=1;y=0;
         d=a;
     }else{
         exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=x*(a/b);
     }
}
int a[N],r[N],n;
ll solve(){
    ll ta=a[1],tr=r[1],x,y,d;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        exgcd(ta,a[i],d,x,y);
        if((r[i]-tr)%d) return -1;
        x=(r[i]-tr)/d*x%(a[i]/d);
        tr+=x*ta;ta=ta/d*a[i];
        tr%=ta;
     }
     return tr>0?tr:tr+ta;
}