全错位排列

以前接触过这样的题目，但是现在稍微系统点

首先看一下百度百科对全错位排列的解释：

基本简介

全错位排列：即被著名数学家欧拉(Leonhard Euler，1707－1783)称为组合数论的一个妙题的“装错信封问题”。

“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：

一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

公式证明

n个相异的元素排成一排a1，a2，...，an。则ai(i=1，2，...，n)不在第i位的排列数为：

公式

证明：

设1，2，...，n的全排列t1，t2，...，tn的集合为I,而使ti=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n)，则Dn=|I|-|A1∪A2∪...∪An|.所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|.

注意到|Ai|=(n-1)!，|Ai∩Aj|=(n-2)!，...，|A1∩A2∩...∩An|=0!=1。

由容斥原理：

Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nC(n,n)*0!

=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)（可以举例试试，很好懂）

应用：

（1）简单排列

1个元素没有全错位排列，2个元素的全错位排列有1种，3个元素的全错位排列有2种，4个元素的全错位排列有9种，5个元素的全错位排列有44种。

递推公式

瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：

用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：

（1）b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有f(n-2)种错装法。

（2）b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）(n-1 )份信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有f(n-1)种。

总之在a装入B的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此:

f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)}（代码实现的时候这个递推公式很重要）

公式可重新写成 f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)] (n>2)

于是可以得到

f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)]

=((-1)^2)[f(n-2)-(n-2)f(n-3)]

=((-1)^3)[f(n-3)-(n-3)f(n-4)]

=……

=[(-1)^(n-2)][f(2)-2f(1)]

最终得到一个更简单的递推式 f(n)=nf(n-1)+(-1)^(n-2)

或者等价式 f(n)=nf(n-1)+(-1)^(n) n=2,3,4……

（2）概率和极限：

有n封不同的信，和n个信封印上了相应的地址。将这n封信放入n个信封中。

 A）求至少有一封信刚好放进正确信封中的概率p_n

 B）当n趋向于无穷大时 ，p_n的极限是多少？

刚看完题目第一印象感觉蛮简单，求至少有一封，那就先求出一封都不对的概率，然后用1减之就可以了。可一封都不对的排列数是多少想了许久也没有想出，回来后请教了不少朋友也没能给出正确答案。最终通过网络提问知道了正确答案。

原来这是有名的“装错信封问题”，它是由著名数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：

个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

结论是：n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)所以原题解答过程为：

应用举例：

神、上帝以及老天爷（组合数学，全错位排列）

Problem Description

HDU 2006'10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了！
为了活跃气氛，组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动，这个活动的具体要求是这样的：

首先，所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中；
然后，待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条；
最后，如果取得的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！”

大家可以想象一下当时的气氛之热烈，毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀！不过，正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾，这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖！

我的神、上帝以及老天爷呀，怎么会这样呢？

不过，先不要激动，现在问题来了，你能计算一下发生这种情况的概率吗？

不会算？难道你也想以悲剧结尾？！

 

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(1<n<=20),表示参加抽奖的人数。

 

Output

对于每个测试实例，请输出发生这种情况的百分比，每个实例的输出占一行, 结果保留两位小数(四舍五入)，具体格式请参照sample output。

 

Sample Input

1
2

 

Sample Output

50.00%

 

一开始我陷入了一个错误的想法：有n个人，第1个人有n-1种取法（不能去自己的），第2个人有n-2种取法（减去去自己的字条和1取得的那张）……事实上，若第1个人取了第2个人的字条。第2个人应有n-1种取法！

<span style="color:#000000;">#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int c,n,i;
	//定义为double型就不需使用long long，同时输出不需要转换类型 
	double b[21]={0,1,2,6,24,120,720},a[21]={0,0,1,2};
	//计算全错位排列数 
	for(i=4;i<21;i++)
	{
		a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);
	}
	//计算阶乘 
	for(i=7;i<21;i++)
	{
		b[i]=i*b[i-1];
	}
	
	cin>>c;
	
	while(c--)
	{
		cin>>n;
		printf("%.2lf%%
",100*a[n]/b[n]);//输出用printf比cout方便得多	
	}
	
	return 0;	
}
</span>

应用2：

题目网址：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2068

思路：从全部中选出一半以上的数目遍历，与选出来的全部正确剩下的全部排错，也就是剩下的对应错排，很简单，但是开始却出现上一题中的错误理解。。。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;
int main (){
   int m;
   __int64 C[30][30],wrongqueue[15]={0,0,1,2};//C[][]为组合，wrongqueue为全错位排列  [0]用不到
   for(int i=1;i<=25;i++){
   	   C[i][1]=i;
   	   C[i][0]=1;
   	   for(int j=2;j<=i;j++){
   	   	C[i][j]=C[i][j-1]*(i-j+1)/j;
   	   } 
	}
   for(int i=3;i<=12;i++)
      wrongqueue[i]=(i-1)*(wrongqueue[i-1]+wrongqueue[i-2]); 
   scanf("%d",&m);
   while(m!=0){
   	__int64 sum=0;
   	if(m%2==0)
   		for(int i=m/2;i<m;i++)
   			sum=sum+C[m][i]*wrongqueue[m-i];
   	else
   	for(int i=m/2+1;i<m;i++)
   			sum=sum+C[m][i]*wrongqueue[m-i];	
        printf("%I64d
",sum+1);
	scanf("%d",&m);
	}	
	return 0;
} 

另：仔细看来看和我的思路一样，只不过我的在求Cnm的时候打表了，还有他的sum类型是double（其实和long long int 是一样长的位数）

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int a[21];
double PaC(int n, int m)                   //Permutation and combination.
{
    double s=1,i;   //小技巧,doulbe型的定义 
    for(i=0;i<m;i++)
        s*=(n-i)/(i+1);
    return s;
}


void init()                           //错排的序列 
{
    int i;
    a[0]=0;a[1]=0;a[2]=1;
    for(int i=3;i<=21;i++)
      a[i]=(a[i-1]+a[i-2])*(i-1);
    return ;
}

int main()
{
    int N,i;
    double sum;
    init();
    while(~scanf("%d",&N),N)
    {
        int m;
        sum=0;
        if(N%2==0)
            m=N/2;
        else
            m=N/2+1;
        for(i=m;i<N;i++)
            sum+=PaC(N, i)*a[N-i];            //Cnm*a[N-m];即从中选出m个正确的，则有n-m个错排的。根据分步计数原理可知。 
        printf("%lld
",(long long int)(sum+1));//
    }
    return 0;
}