【算法总结】线性代数相关

【线性基】

〖相关资料〗

《关于线性基的学习与理解》        《[学习笔记]线性基》

〖注意事项〗

左移时记得1ll。

〖模板代码〗

#include<cstdio>
#include<algorithm> 
#include<cstring>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=55;
LL n,ans,x[N],a[N];
LL read()
{
    LL x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)x[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=50;j>=0;j--)
        {
            if(!(x[i]&(1ll<<j)))continue;
            if(!a[j]){a[j]=x[i];break;}
            x[i]^=a[j];
        }
    for(int i=50;i>=0;i--)
        if((ans^a[i])>ans)ans=ans^a[i];
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

〖相关题目〗

1.【bzoj2460】[BeiJing2011]元素

题意：见原题

分析：hzwerの博客

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1e3+5;
LL n,ans,bin[65],b[65];
struct node{LL id;int w;}a[N];
LL read()
{
    LL x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
bool cmp(node a,node b){return a.w>b.w;}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i].id=read(),a[i].w=read();
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=63;j>=0;j--)
            if(a[i].id&(1ll<<j))
            {
                if(!b[j]){b[j]=a[i].id;break;}
                a[i].id^=b[j];
            }
        if(a[i].id)ans+=a[i].w;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

2.【bzoj2115】[Wc2011] Xor

题意：给定一个边权非负的无向连通图，求从1到n的最大xor和路径，存在重边，允许经过重复点、重复边。

分析：ljh_2000の博客

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=5e4+5;
const int M=2e5+5;
int n,m,cnt,tot,x,y,first[N];
LL ans,w,a[65],sum[N],cir[M];
bool vis[N];
struct edge{int to,next;LL w;}e[M];
LL read()
{
    LL x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
void ins(int u,int v,LL w){e[++cnt]=(edge){v,first[u],w};first[u]=cnt;}
void dfs(int x)
{
    vis[x]=true;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
    {
        int to=e[i].to;
        if(!vis[to])sum[to]=sum[x]^e[i].w,dfs(to);
        else cir[++tot]=sum[x]^e[i].w^sum[to];
    }
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        x=read();y=read();w=read();
        ins(x,y,w);ins(y,x,w);    
    }
    dfs(1);ans=sum[n];
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        for(int j=60;j>=0;j--)
        {
            if(!(cir[i]&(1ll<<j)))continue;
            if(!a[j]){a[j]=cir[i];break;}
            cir[i]^=a[j];
        }
    for(int i=60;i>=0;i--)ans=max(ans,ans^a[i]);
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

3.【codeforces724G】Xor-matic Number of the Graph

题意：给定一个边权非负的无向图，定义三元组 (u, v, s) 为有趣的，当且仅当u、v(1 ≤ u < v ≤ n)间存在一条路径异或和为s，允许经过重复点、重复边。求所有有趣的三元组的s之和。

分析：ljh_2000の博客

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1e5+5;
const int M=4e5+5;
const int mod=1e9+7;
int n,m,x,y,CNT,tot,r,tail,q[N],first[N];
LL w,ans,cnt[2],sum[N],two[65],a[65],cir[M];
bool flag,vis[N];
struct edge{int to,next;LL w;}e[M];
LL read()
{
    LL x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
void ins(int u,int v,LL w){e[++CNT]=(edge){v,first[u],w};first[u]=CNT;}
void dfs(int x,int fa)
{
    vis[x]=true;q[++tail]=x;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
    {
        int to=e[i].to;
        if(to==fa)continue;
        if(!vis[to])sum[to]=sum[x]^e[i].w,dfs(to,x);
        else cir[++tot]=sum[x]^e[i].w^sum[to];
    }
}
void build()
{
    r=0;memset(a,0,sizeof(a));
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        for(int j=60;j>=0;j--)
        {
            if(!(cir[i]&(1ll<<j)))continue;
            if(!a[j]){a[j]=cir[i];break;}
            cir[i]^=a[j];
        }
    for(int i=0;i<=60;i++)if(a[i])r++;
}
LL calc()
{
    build();LL ans=0,now;
    for(int i=0;i<=60;i++)
    {
        cnt[0]=cnt[1]=0;flag=false;
        for(int j=0;j<=60;j++)
            if(a[j]&(1ll<<i)){flag=true;break;}
        for(int j=1;j<=tail;j++)
            cnt[(sum[q[j]]>>i)&1]++;
        now=(cnt[0]*(cnt[0]-1)/2+cnt[1]*(cnt[1]-1)/2)%mod;
        if(flag)ans=(ans+now*two[r-1]%mod*two[i]%mod)%mod;
        now=cnt[0]*cnt[1]%mod;
        if(!flag)ans=(ans+now*two[r]%mod*two[i]%mod)%mod;
        else ans=(ans+now*two[r-1]%mod*two[i]%mod)%mod;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        x=read();y=read();w=read();
        ins(x,y,w);ins(y,x,w);    
    }
    two[0]=1;
    for(int i=1;i<=61;i++)two[i]=two[i-1]*2%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(vis[i])continue;
        tot=0;tail=0;dfs(i,-1);
        ans=(ans+calc())%mod;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}