gmoj 6829. 【2020.10.25提高组模拟】异或

Solution

首先可以把 a 排序，显然不影响答案。

事实上，这个子序列的两两异或最小值只可能在排序后相邻两项中取得。

证明： 设 a ≤ b ≤ c，我们只需证明 min{a ⊕ b, b ⊕ c} ≤ a ⊕ c。

当 a = b 或 b = c 时显然，因此不妨设 a < b < c。如果 a, b, c 的某一位都相等，则两两异或的那一位也相等，因此可以忽略这一位。

找到最高 的一位 d 使得 a, b, c 的第 d 位不全相等。 有两种情况：

• 若 a, b, c 的第 d 位分别为 0, 0, 1，则 a ⊕ b ≤ a ⊕ c。
• 若 a, b, c 的第 d 位分别为 0, 1, 1，则 b ⊕ c ≤ a ⊕ c。

无论哪种情况，都有 min{a ⊕ b, b ⊕ c} ≤ a ⊕ c。证毕。（转自gmoj题解）

然后就可以设 f [ i ]  表示为以 a [ i ] 结束的合法子序列个数，n²转移显然。

考虑用 trie 树优化，将 f [ 1~ i-1 ] 挂在节点上再维护子树和，那么怎样求 f [ i ] 呢？

若当前 x 这一位 = 0，那么答案加上上当前节点儿子和 a [ i ] 这一位异或起来 = 1的子树，递归

若当前 x 这一位 = 1，直接递归。

注意 自己成为一个子序列的情况。

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

const int N=3e5+10,M=65,mo=998244353;
int f[N*M],b[M],s[N*M][2]; ll a[N];
int n,i,t,an,rt,p; ll X;

int ask(int x,int d,ll y){
    if (!x) return 0;
    if (d<0) return f[x];
    int z=y>>d&1;
    return (f[s[x][z^1]]*(b[d]^1)+ask(s[x][z^b[d]],d-1,y))%mo;
}
void insert(int &x,int d,ll y){
    if (!x) x=++t;
    f[x]=(f[x]+p)%mo;
    if (d<0) return;
    insert(s[x][(y>>d)&1],d-1,y);
}
int main(){
    freopen("xor.in","r",stdin);
    freopen("xor.out","w",stdout);
    scanf("%d%lld",&n,&X);
    for(i=0;i<60;++i) b[i]=(X>>i)&1;
    for(i=1;i<=n;++i)
        scanf("%lld",&a[i]);
    sort(a+1,a+n+1); t=rt=1;
    for(i=1;i<=n;++i){
        p=ask(rt,59,a[i])+1;
        insert(rt,59,a[i]);
        an=(an+p)%mo;
    }
    printf("%d",an);
    return 0;
}