UVA 12304 /// 圆的综合题 圆的模板

题目大意：

①给出三角形三个点，求三角形外接圆，求外接圆的圆心和半径。

②给出三角形三个点，求三角形内接圆，求内接圆的圆心和半径。

③给出一个圆，和一个点，求过该点的圆的切线与x轴的夹角（0<=angle<180）；

④给出一条直线，一个点p，指定半径r，求经过点p的与直线相切的半径为r的圆；

⑤给出两条直线，求与这两条直线相切的圆；

⑥给出两个圆，求同时与这两个圆相切的圆；

贴一下圆的模板 带了一些注释

主要包括以下内容

// 求三角形abc的外接圆c（圆心、半径）

C csC(P a,P b,P c)

// 求三角形abc的内接圆c（圆心、半径）

C isC(P a,P b,P c)

// 直线l与圆c的交点 返回个数 交点坐标存入s

int insLC(L l,C c,vector<P>& s)

// 圆c1与c2的交点 返回个数 交点坐标存入s

int insCC(C c1,C c2,vector<P>& s)

// 过点p求与圆c相切的切线 返回条数 切线向量存入v

int PCgetL(P p,C c,vector <P>& v)

// 过点p求与直线l相切的半径为r的圆 返回个数 圆心坐标存入ans

int PLgetC(P p,L l,double r,vector <P>& ans)

// 求与直线l1和l2相切的半径为r的圆 返回个数 圆心坐标存入ans

int LLgetC(L l1,L l2,double r,vector<P>& ans)

// 求圆c1和c2的公切线 返回条数 切线与c1的交点存入ansa 与c2的交点存入ansb

int CCgetL(C c1,C c2,vector <P>& ansa,vector <P>& ansb)

// 求圆c1与c2的相交面积 （本题中无用 只是顺便贴一下）

double insAreaCC(P c1, double r1, P c2, double r2)

// 求n个点的最小圆覆盖（圆心、半径）

C MCC()

解法其实也多种多样 这里放两份题解

https://www.cnblogs.com/dilthey/p/7758012.html

https://blog.csdn.net/peteryuanpan/article/details/40315381

#include <bits/stdc++.h>
#define pb(a) push_back(a)
#define PI acos(-1)
using namespace std;

const double eps=1e-6;
double add(double a,double b) {
    if(abs(a+b)<eps*(abs(a)+abs(b))) return 0;
    return a+b;
}
struct P {
    double x,y;
    P(){}
    P(double _x,double _y):x(_x),y(_y){}
    P operator - (P p) {
        return P(add(x,-p.x),add(y,-p.y)); }
    P operator + (P p) {
        return P(add(x,p.x),add(y,p.y)); }
    P operator * (double d) {
        return P(x*d,y*d); }
    P operator / (double d) {
        return P(x/d,y/d); }
    double dot (P p) {
        return add(x*p.x,y*p.y); }
    double det (P p) {
        return add(x*p.y,-y*p.x); }
    bool operator == (const P& p)const {
        return abs(x-p.x)<eps && abs(y-p.y)<eps; }
    bool operator < (const P& p)const {
        return x<p.x || (x==p.x && y<p.y);
    }
    void read() {
        scanf("%lf%lf",&x,&y); }
};
struct L {
    P p, v;
    double ang;
    L(){}
    L(P _p,P _v):p(_p),v(_v){ ang=atan2(v.y,v.x); }
    P acP(double t) {
        return p+v*t;
    }
};
struct C {
    P p; double r;
    C(){}
    C(P _p,double _r):p(_p),r(_r){}
    P acP(double a) {
        return P(p.x+cos(a)*r,p.y+sin(a)*r);
    }
    void read() {
        scanf("%lf%lf%lf",&p.x,&p.y,&r); }
};
// 求向量a的长度
double lenP(P a) {
    return sqrt(a.dot(a));
}
// 求向量v的垂直单位向量
P normal(P v) {
    double len=lenP(v);
    return P(-v.y/len,v.x/len);
}
// 求旋转ang后的向量v
P Rotate(P v,double ang) {
    P u=P(sin(ang),cos(ang));
    return P(v.det(u),v.dot(u));
}
// 求两向量夹角
double Angle(P u,P v) {
    return acos(u.dot(v)/lenP(u)/lenP(v));
}
// 求向量v极角
double angle(P v) {
    return atan2(v.y,v.x);
}
// 求点c到直线ab距离
double lenPL(P a,P b,P c) {
    if(a==b) return lenP(a-c);
    if((b-a).dot(c-a)<0) return lenP(a-c);
    else if((b-a).dot(c-b)>0) return lenP(b-c);
    else return abs((c-a).det(b-a))/lenP(a-b);
}
// 求两直线交点
P ins(L a,L b) {
    P v=a.p-b.p, v1=a.v, v2= b.v;
    double t=v2.det(v)/v1.det(v2);
    return a.p+v1*t;
}

/*求直线l与圆c的交点个数
t1 t2为交点对应的圆心角
交点存入s中
*/
int insLC(L l,C c,vector<P>& s) {
    double ta=l.v.x, tb=l.p.x-c.p.x;
    double tc=l.v.y, td=l.p.y-c.p.y;
    double A=ta*ta+tc*tc, B=2*(ta*tb+tc*td), C=tb*tb+td*td-c.r*c.r;
    double delta=B*B-4.0*A*C;

    double t1,t2; // 圆心角
    if(delta<-eps) return 0; // <0无解
    else if(abs(delta)<eps) { // =0存在一个解
        t1=t2=-B/(2.0*A); s.pb(l.acP(t1));
        return 1;
    }
    else { // 两个解
        t1=(-B-sqrt(delta))/(2.0*A); s.pb(l.acP(t1));
        t2=(-B+sqrt(delta))/(2.0*A); s.pb(l.acP(t2));
        return 2;
    }
}

/* 判断两圆相交
求圆c1与c2的交点 并用s保存交点
*/
int insCC(C c1,C c2,vector<P>& s) {
    double d=lenP(c1.p-c2.p);
    if(abs(d)<eps) {
        if(abs(c1.r-c2.r)<eps) return -1; // 重合
        return 0; // 内含
    }
    if((c1.r+c2.r-d)<-eps) return 0; // 外离
    if(d-abs(c1.r-c2.r)<-eps) return 0; // 内离

    double ang=angle(c2.p-c1.p); // 向量c1c2求极角
    double da=acos((c1.r*c1.r+d*d-c2.r*c2.r)/(2*c1.r*d));
    // c1与交点的向量 与 c1c2 的夹角
    P p1=c1.acP(ang-da), p2=c1.acP(ang+da); // 求得两交点

    s.pb(p1);
    if(p1==p2) return 1; // 同一个点
    s.pb(p2); return 2;
}

/*求三角形的外接圆（圆心、半径）
*/
C csC(P a,P b,P c) {
    double bx=b.x-a.x, by=b.y-a.y;
    double cx=c.x-a.x, cy=c.y-a.y;
    double d=2*(cy*bx-cx*by);
    double x=(cy*(bx*bx+by*by)-by*(cx*cx+cy*cy))/d+a.x;
    double y=(bx*(cx*cx+cy*cy)-cx*(bx*bx+by*by))/d+a.y;
    P r(x,y);
    return C(r,lenP(a-r));
}
/*求三角形的内接圆（圆心、半径）
*/
C isC(P a,P b,P c) {
    double d=lenP(b-c), e=lenP(c-a), f=lenP(a-b);
    P p=(a*d+b*e+c*f)/(d+e+f);
    return C(p,lenPL(a,b,p));
}

/*过定点p作圆c的切线l
得p到圆心的向量（固定方向）求距离dist 判断距离
旋转向量（以p点为心旋转）得到切线向量 并存入v
*/
int PCgetL(P p,C c,vector <P>& v) {
    P u=c.p-p; // p到圆心的向量
    double dist=lenP(u);
    if(dist-c.r<-eps) return 0; // p在圆内
    else if(abs(dist-c.r)<eps) { // p在圆上
        v.pb(Rotate(u,PI/2)); return 1;
    }
    else {
        double ang=asin(c.r/dist); // 切线与u的夹角
        v.pb(Rotate(u,-ang));
        v.pb(Rotate(u,ang));
        return 2;
    }
}

/*过点p与直线l相切的半径为r的圆
以点p为圆心r为半径得到圆pc
直线l向上和向下平移r后得到lup和ldw
得到圆pc与直线lup和ldw的交点 就是圆心 并存入ans
*/
int PLgetC(P p,L l,double r,vector <P>& ans) {
    P v=normal(l.v); v=v/lenP(v)*r; 
    L lup(l.p+v,l.v), ldw(l.p-v,l.v); 
    int c1=insLC(lup,C(p,r),ans); 
    int c2=insLC(ldw,C(p,r),ans); 
    sort(ans.begin(),ans.end());
    return c1+c2;
}

/*与两条相交直线相切的半径为r的圆
直线向上和向下平移r后得到lup和ldw
每两条直线的交点即为圆心 并存入ans中
*/
int LLgetC(L l1,L l2,double r,vector<P>& ans) {
    P v1=normal(l1.v), v2=normal(l2.v);
    v1=v1/lenP(v1)*r, v2=v2/lenP(v2)*r;
    L l1up(l1.p+v1,l1.v), l1dw(l1.p-v1,l1.v);
    L l2up(l2.p+v2,l2.v), l2dw(l2.p-v2,l2.v);

    ans.pb(ins(l1up,l2up));
    ans.pb(ins(l1up,l2dw));
    ans.pb(ins(l1dw,l2up));
    ans.pb(ins(l1dw,l2dw));
    sort(ans.begin(),ans.end());
    return ans.size();
}

/*求圆c1与c2的公切线
重合无数条 内离则没有
内切有一条 相交有两条
外切有三条 外离有四条
返回切线的数量 切点存入
*/
int CCgetL(C c1,C c2,vector <P>& ansa,vector <P>& ansb) {
    if(c1.r<c2.r) swap(c1,c2), swap(ansa,ansb);
    P v=c2.p-c1.p;
    double d2=(v).dot(v); // 圆心距的平方
    double base=angle(v);
    double rd=c1.r-c2.r; // 内切时的圆心距
    double rs=c1.r+c2.r; // 外切时的圆心距

    if(d2<rd*rd) return 0; // 内离
    if(d2==0 && c1.r==c2.r) return -1; // 重合
    if(d2==rd*rd) {
        ansa.pb(c1.acP(base)), ansb.pb(c2.acP(base));
        return 1;
    } // 内切

    double ang=acos(rd/sqrt(d2)); // 外公切线与两圆心连线的夹角
    ansa.pb(c1.acP(base+ang)); ansb.pb(c2.acP(base+ang));
    ansa.pb(c1.acP(base-ang)); ansb.pb(c2.acP(base-ang));
    // 两条外切线

    if(d2==rs*rs) {
        ansa.pb(c1.acP(base)); ansb.pb(c2.acP(base));
    } // 外切
    else if(d2>rs*rs) {
        ang=acos(rs/sqrt(d2)); // 内公切线与两圆心连线的夹角
        ansa.pb(c1.acP(base+ang)); ansb.pb(c2.acP(base+ang));
        ansa.pb(c1.acP(base+ang)); ansb.pb(c2.acP(base+ang));
    } // 外离

    return ansa.size();
}

/*求圆c1与c2的面积交
S扇形 = r*r*ang  = r*l (l为弧长 l=ang*r)
S三角形 = r*r*sin(ang)*cos = r*r*0.5*sin(2*ang) = 0.5*r*h
S = S扇形 - S三角形 (对应圆弧的半边)
*/
double insAreaCC(P c1, double r1, P c2, double r2) {
    double a = lenP(c1-c2), b = r1, c = r2;
    double minr = min(r1,r2);
    if(r1+r2-a<eps) return 0; // 两圆相离
    if(a-abs(r1-r2)<eps || abs(a)<eps) 
        return PI*minr*minr; // 两圆包含

    double cosA=(a * a + b * b - c * c) / 2.0 / (a * b);
    double cosB=(a * a + c * c - b * b) / 2.0 / (a * c);
    double angA = acos(cosA), angB = acos(cosB);

    double s1 = r1*r1*angA - r1*r1*sin(angA)*cosA;
    double s2 = r2*r2*angB - r2*r2*sin(angB)*cosB;

    return s1 + s2;
}

/**********************************/

void ops3(P p,C c) {
    vector <P> Lp; Lp.clear();
    int m=PCgetL(p,c,Lp); /// 得到切线向量
    vector <double> ans; ans.clear();
    for(int i=0;i<m;i++) {
        double ang=angle(Lp[i]); /// 切线向量转为极角
        if(ang<0) ang+=PI;
        if(abs(ang-PI)<eps) ang-=PI;
        ans.pb(ang);
    }
    sort(ans.begin(),ans.end());
    printf("[");
    for(int i=0;i<m;i++){
        if(i!=0) printf(",");
        printf("%.6f",ans[i]*180/PI); /// 极角转为角度
    }
    printf("]
");
}
void ops4(P p,L l,double r) {
    vector <P> ans; ans.clear();
    int m=PLgetC(p,l,r,ans);
    printf("[");
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        if(i!=0) printf(",");
        printf("(%.6lf,%.6lf)",ans[i].x,ans[i].y);
    }
    printf("]
");
}
void ops5(L l1,L l2,double r) {
    vector <P> ans; ans.clear();
    int m=LLgetC(l1,l2,r,ans);
    printf("[");
    for(int i=0;i<m;i++) {
        if(i!=0) printf(",");
        printf("(%.6lf,%.6lf)",ans[i].x,ans[i].y);
    }
    printf("]
");
}
void ops6(C c1,C c2,double r)
{
    c1.r+=r, c2.r+=r;
    vector <P> ans; ans.clear();
    insCC(c1,c2,ans);
    sort(ans.begin(),ans.end());
    printf("[");
    for(int i=0;i<ans.size();i++) {
        if(i!=0) printf(",");
        printf("(%.6lf,%.6lf)",ans[i].x,ans[i].y);
    }
    printf("]
");
}

int main()
{
    string op;
    while(cin>>op) {
        if(op=="CircumscribedCircle") {
            P p1,p2,p3;
            p1.read(), p2.read(), p3.read();
            C c=csC(p1,p2,p3);
            printf("(%.6f,%.6f,%.6f)
",c.p.x,c.p.y,c.r);
        }
        else if(op=="InscribedCircle") {
            P p1,p2,p3;
            p1.read(), p2.read(), p3.read();
            C c=isC(p1,p2,p3);
            printf("(%.6f,%.6f,%.6f)
",c.p.x,c.p.y,c.r);
        }
        else if(op=="TangentLineThroughPoint") {
            C c; c.read();
            P p; p.read();
            ops3(p,c);
        }
        else if(op=="CircleThroughAPointAndTangentToALineWithRadius") {
            P p; P a,b;
            p.read(), a.read(), b.read();
            double r; scanf("%lf",&r);
            ops4(p,L(a,b-a),r);
        }
        else if(op=="CircleTangentToTwoLinesWithRadius") {
            P a,b; P c,d;
            a.read(), b.read();
            c.read(), d.read();
            double r; scanf("%lf",&r);
            ops5(L(a,b-a),L(c,c-d),r);
        }
        else { //if(op=="CircleTangentToTwoDisjointCirclesWithRadius") {
            C c1, c2;
            c1.read(), c2.read();
            double r; scanf("%lf",&r);
            ops6(c1,c2,r);
        }
    }

    return 0;
}

随机增量法O(n)求最小圆覆盖

https://www.luogu.org/problemnew/solution/P1742

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LLINF 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL
#define inc(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define dec(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define mem(i,j) memset(i,j,sizeof(i))
#define bug(args...) cout<<#args<<"="<<args<<endl;
const int N=1e5+5;
const double eps=1e-8;

struct P {
    double x,y;
    P(){} P(double x,double y):x(x),y(y){}
    P operator - (P p) { return P(x-p.x,y-p.y); }
    P operator + (P p) { return P(x+p.x,y+p.y); }
    P operator / (double d) { return P(x/d,y/d); }
    P operator * (double d) { return P(x*d,y*d); }
    double dot(P p) { return x*p.x+y*p.y; }
    double det(P p) { return x*p.y-y*p.x; }
};
struct C {
    P p; double r;
    C(){} C(P p,double r):p(p),r(r){}
};

double len(P p) { return sqrt(p.dot(p)); }
double len2(P p) { return p.dot(p); }
/*求三角形的外接圆（圆心、半径）*/
C csC(P a,P b,P c) {
    double bx=b.x-a.x, by=b.y-a.y;
    double cx=c.x-a.x, cy=c.y-a.y;
    double d=2*(cy*bx-cx*by);
    double x=(cy*(bx*bx+by*by)-by*(cx*cx+cy*cy))/d+a.x;
    double y=(bx*(cx*cx+cy*cy)-cx*(bx*bx+by*by))/d+a.y;
    P r(x,y);
    return C(r,len(a-r));
}
/*求n个点的最小圆覆盖（圆心、半径）*/
C MCC() {
    C c=C(P(0.0,0.0),0.0);
    inc(i,1,n) if(len2(p[i]-c.p)>c.r) {
        c=C(p[i],0.0);
        inc(j,1,i-1) if(len2(p[j]-c.p)>c.r) {
            c.p=(p[i]+p[j])/2,c.r=len2(p[j]-c.p);
            inc(k,1,j-1) if(len2(p[k]-c.p)>c.r)
                c=csC(p[i],p[j],p[k]), c.r=len2(p[k]-c.p);
        }
    }
    c.r=sqrt(c.r);
    return c;
}

int n;
P p[N];

int main()
{
    while(~scanf("%d",&n)) {
        inc(i,1,n) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
        random_shuffle(p+1,p+1+n);
        C c=MCC();
        printf("%.10f
%.10f %.10f
",c.r,c.p.x,c.p.y);
    }

    return 0;
}