• 鸽巢原理(抽屉原理)


    鸽巢原理(抽屉原理)

    基本描述

    桌子上有是个苹果,把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎么放,我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是所说的“抽屉原理”。
    更一般的表述:如果每一个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素。加入有n+1个元素放到n个集合中去,其中必定有一个集合里至少有两个元素。

    第一抽屉原理

    原理1

    把多余n+1个物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

    原理2

    把多余mn+1(n不为0)个物体放到n个抽屉里面,则至少有一个抽屉里面不少于(m+1)的物体。

    第二抽屉原理

    把(mn -1 )个物体放入n个抽屉中,其中必须有一个抽屉不多余(m-1)个物体。
    如将3*5-1 = 14个物体放入5个抽屉中,则必定有一个抽屉中的物体数目少于3-1=2.

    举例

    属相问题

    属相有12个,那么任意37个人中,至少有几个人属相相同?

    上取整(37 / 12) = 4

    招聘问题

    有300人到招聘会求职,其中软件设计有100人,市场营销有80人,财务管理有70人,人力资源管理有50人。那么至少有多少人找到工作才能保证一定有70人找的工作专业相同?

    考虑最差情况,即软件设计,市场营销,财务管理均招了69人,人力资源管理招了50人,此时再多招1人,就有70人找的工作专业相同了。
    故答案为 69*3 + 50 + 1 = 258

    衬衫问题

    一个抽屉里有20件衬衫,其中4件是蓝的,7件是灰的,9件是红的,则应从中随意取出多少件才能保证有5件是同颜色的?

    考虑最差情况,即已经取出了4件蓝色,4件灰色,4件红色,再多取出1件就满足条件。
    故答案为 4 + 4 + 4 + 1 = 13。

    例题:

    1.poj 2356:https://vjudge.net/problem/POJ-2356

    题意:给你n个大于0的数,在n中取k个数且其和为n的倍数,输出k和每个数。

    思路:我们可以从前缀和考虑,如果sum[i]%n那么直接输出,否则考虑sum[i]%n因为这n个数一定是属于[1,n-1]这就相当于把n个物品放到n-1个抽屉里,那么一定存在sum[i]%n=sum[j]%n,那么(sum[j]-sum[i])%n==0,假设j>i,那么我们只要输出ai-aj就好了。

      1 #include<bits/stdc++.h>
      2 #include<time.h>
      3 #include <set>
      4 #include <map>
      5 #include <stack>
      6 #include <cmath>
      7 #include <queue>
      8 #include <cstdio>
      9 #include <string>
     10 #include <vector>
     11 #include <cstring>
     12 #include <utility>
     13 #include <cstring>
     14 #include <iostream>
     15 #include <algorithm>
     16 #include <list>
     17 using namespace std;
     18 #define eps 1e-10
     19 #define PI acos(-1.0)
     20 #define lowbit(x) ((x)&(-x))
     21 #define zero(x) (((x)>0?(x):-(x))<eps)
     22 #define mem(s,n) memset(s,n,sizeof s);
     23 #define ios {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);}
     24 typedef long long ll;
     25 typedef unsigned long long ull;
     26 const int maxn=1e5+5;
     27 const int Inf=0x7f7f7f7f;
     28 const ll Mod=999911659;
     29 //const int N=3e3+5;
     30 bool isPowerOfTwo(int n) { return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0; }//判断一个数是不是 2 的正整数次幂
     31 int modPowerOfTwo(int x, int mod) { return x & (mod - 1); }//对 2 的非负整数次幂取模
     32 int getBit(int a, int b) { return (a >> b) & 1; }// 获取 a 的第 b 位,最低位编号为 0
     33 int Max(int a, int b) { return b & ((a - b) >> 31) | a & (~(a - b) >> 31); }// 如果 a>=b,(a-b)>>31 为 0,否则为 -1
     34 int Min(int a, int b) { return a & ((a - b) >> 31) | b & (~(a - b) >> 31); }
     35 ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
     36 ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}
     37 int Abs(int n) {
     38   return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31);
     39   /* n>>31 取得 n 的符号,若 n 为正数,n>>31 等于 0,若 n 为负数,n>>31 等于 -1
     40      若 n 为正数 n^0=n, 数不变,若 n 为负数有 n^(-1)
     41      需要计算 n 和 -1 的补码,然后进行异或运算,
     42      结果 n 变号并且为 n 的绝对值减 1,再减去 -1 就是绝对值 */
     43 }
     44 ll binpow(ll a, ll b,ll c) {
     45   ll res = 1;
     46   while (b > 0) {
     47     if (b & 1) res = res * a%c;
     48     a = a * a%c;
     49     b >>= 1;
     50   }
     51   return res%c;
     52 }
     53 void extend_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
     54 {
     55     if(b==0) {
     56         x=1,y=0;
     57         return;
     58     }
     59     extend_gcd(b,a%b,x,y);
     60     ll tmp=x;
     61     x=y;
     62     y=tmp-(a/b)*y;
     63 }
     64 ll mod_inverse(ll a,ll m)
     65 {
     66     ll x,y;
     67     extend_gcd(a,m,x,y);
     68     return (m+x%m)%m;
     69 }
     70 ll eulor(ll x)
     71 {
     72    ll cnt=x;
     73    ll ma=sqrt(x);
     74    for(int i=2;i<=ma;i++)
     75    {
     76     if(x%i==0) cnt=cnt/i*(i-1);
     77     while(x%i==0) x/=i;
     78    }
     79    if(x>1) cnt=cnt/x*(x-1);
     80    return cnt;
     81 }
     82 ll n,a[maxn],sum[maxn],pos[maxn];
     83 int main()
     84 {
     85     ios
     86     cin>>n;
     87     for(int i=1;i<=n;i++)
     88     {
     89         cin>>a[i];
     90         sum[i]=sum[i-1]+a[i];
     91     }
     92     for(int i=1;i<=n;i++)
     93     {
     94         if(sum[i]%n==0)
     95         {
     96             cout<<i<<endl;
     97             for(int j=1;j<=i;j++) cout<<a[j]<<endl;
     98                 break;
     99         }
    100         if(pos[sum[i]%n])
    101         {
    102             cout<<i-pos[sum[i]%n]<<endl;
    103             for(int j=pos[sum[i]%n]+1;j<=i;j++) cout<<a[j]<<endl;
    104             break;
    105         }
    106         pos[sum[i]%n]=i;
    107     }
    108     return 0;
    109 }
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