机智零崎不会没梗Ⅲ (摊还分析)

题目描述

零崎总是说自己有一百种梗可玩，然而其实都是假的，是化学成分的，是特技。想要给摊还分析加个梗，实在是不好想，因为这个内容并不是什么算法，而是算法分析。

不过既然还得考，那么没有办法……

“势能法”是摊还分析中一种比较简单常用的方法，而且容易理解。现在零崎有K个硬币，规定每次“翻动”操作只能从最右侧开始翻转硬币，且如果把一个硬币从正面向上翻到背面向上，则需要对其左侧相邻的那个硬币也执行“翻动”操作(翻至最左则结束)。定义硬币组的势为硬币中正面向上的硬币的个数。现在要求你求出从某个给定的硬币组状态之后连续N个“翻动”操作的摊还代价。

硬币组的初始状态以一组数表示，0代表反面，1代表正面。

输入

多组测试数据。

每组测试数据共两行：

第一行K+1个正整数，分别为硬币组中硬币数K和初始状态(0<K<20)；

第二行一个正整数，为题目要求你求出的“翻动”操作的个数N（0<N<30）。

输出

每组测试数据输出一行，此行第i个数输出初始状态后第i个操作的摊还代价（1<=i<=N）。

输入样例

3 0 0 0
2

输出样例

2 2

题目来源：http://biancheng.love/contest/23/problem/F/index
所谓摊还分析：求数据结构中的一个操作序列中所执行的所有操作的平均时间，来评价操作的代价。我们可以说明一个操作的平均代价很低，即使序列中某个单一操作的代价很高。瘫痪分析不同于平均情况分析，它不涉及到概率问题，它可以保证最坏的情况下每个操作的平均性能。
解题思路：在计算摊还代价时可以采用：聚合分析、核算法、势能算法。参考算法导论书中的例子：二进制计数器递增问题。通过题目要求可以得到，反转硬币其实也就是实现二进制计数器的递增问题，在摊还代价计算中得到如果反转到全为0，摊还代价为0，其他情况均为1，因此可以采用简单粗暴的方法。计算对应二进制的十进制数，由于反转硬币的摊还代价是有周期的（在给定二进制位数之后，周期为2^k）；因此只需要判断是输出0还是输出2就可以了。
本题代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define max_size  21
int a[max_size];
using namespace std;
int main()
{
    int k,num,flag,N;
    while(~scanf("%d",&k))
    {
        num=0;
        flag=pow(2,k);
        for(int i=1;i<=k;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        for(int i=1;i<=k;i++)
            num+=a[i]*pow(2,k-i);
        scanf("%d",&N);
        int temp=flag-num;
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            if(i<=temp-1)
            {
                if((i-1)==temp)
                    printf("0 ");
                else
                    printf("2 ");
            }
            else if(i>=temp)
            {
                if((i+num)%flag==0)
                    printf("0 ");
                else
                    printf("2 ");
            }
        }
        printf("
");
    }
}

采用判断是否所有位数都为0，来进行输出的另外一种方法：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int N;
    while(cin>>N)
    {
        int A[N],k;
        for(int i=0; i<N; i++)
        {
            cin>>A[i];
        }
        cin>>k;
        int j=N-1;
        for(int i=1; i<=k; i++)
        {
            while(j>=0 && A[j]==1)
            {
                A[j]=0;
                j--;
            }
            if(j>=0)
            {
                A[j]=1;
                cout<<"2 ";
            }
            else
            {
                for(int k=0; k<N; k++)
                    A[k]=0;
                cout<<"0 ";
            }
            j=N-1;
        }
        cout<<endl;
    }
}