CH3--多维随机变量及其分布
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联合分布函数：
由它们构成的有序数组((X,Y))称为二维随机变量或二维随机向量
[Pleft(X=x_{i}, Y=y_{j}
ight)=p_{i j}, i, j=1,2, cdots
]
联合分布函数的基本性质：
1.(单调性) (F(x, y))关于 x 和 y 分别单调增
2.(有界性)(F(-infty, y)=F(x,-infty)=0, quad F(+infty,+infty)=1)
(3)(右连续性)$$ F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续.$$
联合分布列
[ ext { (1)(非负性) } quad p_{i j} geq 0, quad i, j=1,2, ldots
]
[ ext { (2)(正则性) } quad Sigma Sigma p_{i j}=1
]
(若(X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对， 则称(X, Y)为二维离散随机变量.)
联合密度函数：
[如果存在非负函数f(x,y)，使
]
[F(x, y)=iint_{D} f(x, y) d sigma=int_{-infty}^{x} int_{-infty}^{y} f(x, y) d x d y
]
[则称(X,Y)为二维连续型随机变量，函数f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的概率密度 \或称为随机变量X和Y的联合概率密度
]
联合密度函数性质：
[ ext { (1) } quad p(x, y) geq 0 (非负性)]
[ ext { (2) } int_{-infty}^{+infty} int_{-infty}^{+infty} p(x, y) mathrm{d} x mathrm{d} y=1(正则性)]
[注意：P{(X, Y) in D}=iint_{D} p(x, y) mathrm{d} x mathrm{d} y ]
常用多维分布
#正态分布
二维正态分布
[(X, Y)服从正态分布
]
[(X, Y) sim Nleft(mu_{1}, mu_{2}, sigma_{1}^{2}, sigma_{2}^{2},
ho
ight)
]
正态分布的可加性
若$$X sim Nleft(mu_{1}, sigma_{1}^{2} ight), quad Y sim Nleft(mu_{2}, sigma_{2}^{2} ight)$$且独立
[则Z=X pm Y sim Nleft(mu_{1} pm mu_{2}, sigma_{1}^{2}+sigma_{2}^{2}
ight)
]
注意：
(X −Y) 不服从(Nleft(mu_{1}-mu_{2}, sigma_{1}^{2}-sigma_{2}^{2}
ight))
(X-Y sim Nleft(mu_{1}-mu_{2}, sigma_{1}^{2}+sigma_{2}^{2}
ight))
边缘分布：
Question：$$已知二维随机变量 (X, Y) 的分布，
如何求出 X 和 Y 各自的分布？$$
边际分布函数
巳知 ((X, Y))的联合分布函数为 (F(x, y))，
则
[egin{array}{l}{X sim F_{X}(x)=F(x,+infty)} \ {Y sim F_{Y}(y)=F(+infty, y)}end{array}
]
二维变量其中一个概率为1时另一个的分布。
例：关于(X)的边缘分布：
[egin{array}{l}{F_{X}(x)=F(x,+infty)=lim _{y
ightarrow+infty} F(x, y)} \ {f_{X}(x)=int_{-infty}^{+infty} f(x, y) d y}end{array}
]
边际分布密度函数
[egin{array}{l}{p(x)=int_{-infty}^{+infty} p(x, y) mathrm{d} y} \ {p(y)=int_{-infty}^{+infty} p(x, y) mathrm{d} x}end{array}
]
随机变量间的独立性
[egin{array}{l}{ ext { i) } quad F(x, y)=F_{X}(x) F_{Y}(y)} \ { ext { ii) } quad p_{i j}=p_{i} p_{j}} \ { ext { iii) } quad p(x, y)=p_{X}(x) p_{Y}(y)}end{array}
]
[则称X与Y是独立的
(1) X 与Y是独立的其本质是：\
注 意 点：X与Y独立的本质是：
任对实数a, b, c, d，有]
[P(a<X<b, c<Y<d)=P(a<X<b) P(c<Y<d)
]
连续场合的卷积公式
(设连续随机变量X与Y 独立， 则 Z=X+ Y 的密度函数为)
[egin{aligned} p_{Z}(z) &=int_{-infty}^{infty} p_{X}(x) p_{Y}(z-x) mathrm{d} x \ &=int_{-infty}^{infty} p_{X}(z-y) p_{Y}(y) mathrm{d} y end{aligned}
]
离散场合的卷积公式
设离散随机变量 X 与 Y 独立，
则 (Z=X+ Y) 的分布列为
[egin{aligned} Pleft(Z=z_{l}
ight) &=sum_{i=1}^{infty} Pleft(X=x_{i}
ight) Pleft(Y=z_{l}-x_{i}
ight) \ &=sum_{j=1}^{infty} Pleft(X=z_{l}-y_{j}
ight) Pleft(Y=y_{j}
ight) end{aligned}
]
变量变换法
已知 ((X, Y)) 的分布， ((X,Y)) 的函数
[left{egin{array}{l}{U=g_{1}(X, Y)} \ {V=g_{2}(X, Y)}end{array}
ight.
]
求 ((U, V)) 的分布.
多维随机变量函数的数学期望
(设 (X, Y) 是二维随机变量， Z = g(X, Y)，则)
[E(Z)=E[g(X, Y)]=left{egin{array}{c}{sum_{i} sum_{j} gleft(x_{i}, y_{j}
ight) p_{i j}} \ {iint_{-infty}^{+infty} g(x, y) p(x, y) mathrm{d} x mathrm{d} y}end{array}
ight.
]
协方差
[operatorname{Cov}(X, Y)=E[X-E(X)][Y-E(Y)]
]
参考资料：《概率论与数理统计教程》茆诗松版（第二版）