hdu 1452 因子和 + 逆元素+ 快速幂

分析：

1：

因子和  是 积性函数S(x) ，即 gcd(a , b ) =1  则 S（a* b ）= S(a) * S(b)

因子个数 也是积性函数 f(x) 

故有 S（2004） = S（2^2） * S(3) * S (167)

S(2004 ^n)  mod 29= S (2 ^ 2*n)mod 29  * S (3 ^n)   mod 29 * S（167 ^n）  mod 29

                             = S (2 ^ 2*n)mod 29  * S (3 ^n)   mod 29 * S（22 ^n）  mod 29

2：

p是素数 ， 

则 S（p^n） = 1+ p +……+p^n= (p^(n+1) -1) / (p-1)  

S(P^n) mod 29 = (p^(n+1) -1) mod 29  /  (p-1) (mod 29)  =  (p^(n+1) -1) mod 29   *      (p-1) ^(-1) (mod 29)

从这个式子，我们需要计算 （p-1） mod 29 的逆元，   (p-1) ^(-1) (mod 29)， 同时也需要计算 p^(n+1)  故我们需要用到快速幂乘

代码如下：

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<string>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<map>
#define Mod 29
using namespace std;
//快速求幂 a^b %n
int mod_exp(int a,int b,int n)
{
    int t=1;
    for(;b>0;  b>>=1 , a=(a*a)%n)
        if(b&1) t=(t*a)%n;
    return t;
}
// 扩展 欧几里得 求最大公约数
// 返回d= gcd(a,b)  和 对应于等式 ax + by =d 中的x ，y
int  extend_gcd(int a, int b, int &x , int &y)
{
    if(b==0 && a==0) return -1; // 无最大公约数
    if(b==0){x=1; y=0; return a;}
    int d=extend_gcd(b, a%b , y, x);
    y-= a/b *x;
    return d;
}
// ***************求逆元素**********
// ax= 1(mod n)
int mod_reverse(int a, int n)
{
    int x,y;
    int d=extend_gcd(a,n,x,y);
    if(d==1) return (x%n +n)%n;
    else return -1;
}

int main()
{
    int n;
    int a,b,c;
    while(scanf("%d",&n)&&n)
    {
        a=(mod_exp(2,2*n+1,Mod)-1)*mod_reverse(2-1,Mod);
        b=(mod_exp(3,n+1,Mod)-1)*mod_reverse(3-1,Mod);
        c=(mod_exp(22,n+1,Mod)-1)*mod_reverse(22-1, Mod);
        printf("%d
",a*b*c%Mod);

    }
    return 0;
}