Clifford code
Clifford group是什么？
简单的公式来表达，就是 (Cl_{n}=left{U: U P_{n} U^{dagger} in P_{n} ight}) 。
用语言来描述，就是对一个泡利施加一个U操作，然后还是一个泡利。
首先，所有的泡利都属于(Cl_n)，因为泡利矩阵自己相乘还是泡利。
但也有非泡利的矩阵在这里面，比如H也属于clifford，(HXH=Z)，$ HZH=X$
另一个例子是 (S=sqrt{Z}=left(egin{array}{cc}1 & 0 \ 0 & iend{array} ight))
(SZS^{dagger}=ZSS^{dagger}=Z)
(SXS^{dagger}=iY)
但是也并非所有的操作都属于(Cl_n)，比如T门，(TZT^{dagger}=ZTT^{dagger}=ZS otin P)
对于单量子比特来说：(Cl_1=langle X,Z,H,S angle)
但是我们不仅只有单比特，对于多比特，他不是简单的(Cl_1^{otimes n}) ，因为多比特有纠缠。
比如(SWAP_{ij}) ，将第i个和第j个交换一下，这很明显操作完了还是一个泡利，属于(Cl_n)，(operatorname{SWAP}_{i j} X_{i} operatorname{SWAP}_{i j}^{dagger}=X_{j})
除此之外还有CNOT，CNOT对于原来的泡利在受控比特和控制比特上有所不一样，对X和Z的影响也不一样，其效果如下表：
事实上，我们可以用3个CNOT来构建一个SWAP
所以 (C l_{n}=langle H_{i},S_{j},CNOT_{i j} angle)
Clifford group可以做什么？
ok，我们已经知道Clifford的定义了，但是我们为什么要定义一个Clifford group呢？他有什么用？
5 qubit code
定义一组对应五比特编码的stabilizer，(S=langle Z X X Z I, I Z X X Z, Z I Z X X, X Z I Z X angle)，我们可以很容易的给她加上最后一位变成(S=langle Z X X Z I, I Z X X Z, Z I Z X X, X Z I Z X, X X Z I Z angle)，多出来的这个就是前面4个的乘积，所以不会影响到最后的结果。
接下来，我们定义 normalizers of S ，也就是(N(S))。
对于(N(S))，我们只有一个要求，那就是(N(S)=left{p in P_{n} | p S p^{dagger}=S ight})。
对于(p S p^{dagger}=S)，我们可以换一种理解方式，即(pg=gp forall g in S)。
trivial code
我们都知道，编码其实就是将低维的空间映射到高维，那么最为朴实的一种映射就是补零操作，(V_{S} inleft{|0 angle^{otimes n-k} otimes|Psi angle:|Psi angle in mathbb{C}^{2^{k}} ight})，这就是一个简单的把k比特映射到n比特空间的一种trival code。
这种编码的stabilizer很简单，(S=leftlangle Z_{1}, Z_{2} dots . Z_{n-k} ight angle)，(Z_i)的意思是除了第i个比特是Z其他都是I，这个很好理解，因为前面n-k个比特我们都是(|0 angle)，是Z的特征向量。
那这两个编码之间有什么关系吗？
我们可以给出以下声明：
对于任意的stabilizer code，都可以通过unitary的转化和trivial code等价。
而这个unitary就属于我们的Clifford group。
假设我有一组stabilizer (S)，以及这个(S)对应的子空间(V_S)，那么一定存在一个unitary U 使得 (USU^{dagger}=leftlangle Z_{1}, Z_{2} dots . Z_{n-k} ight angle)
这个时候，我们的子空间(V_{S})就变成了(V_{USU^{dagger}})
后一句话很好理解，原来这个子空间里的向量为(|psi angle)，现在这个子空间里的每一个向量就变成了(U|psi angle)
((USU^{dagger})U|psi angle=US|psi angle=U|psi angle)
那么前一个为什么会存在这个U呢？
先来论证一下他的可能性，U会改变一些东西，但是有一些不会改变，比如，他不会改变这个的特征值，而正好，他们都是泡利矩阵，特征值都是正负1；又比如，U不会改变他们的对易和反对易，他们正好都是对易的操作。
事实上，对于泡利矩阵来说，只要他们的对易反对易的模式相同，那么我就可以用U对他们进行一个映射。
我们可以换一个视角从向量的角度来看一看这个问题
令(a,b in mathbb{F}^n)，那么(v=left(egin{array}{l}a \ bend{array} ight) in F^{2 n})
任意一个Pauli都可以用v来表示(X^{a} Z^{b}=sigma^{left(egin{array}{c}a \ bend{array} ight)})
那么Clifford group在做什么？
$Usigma^vU^{dagger} in P_n $
即，其实就是把(sigma^{v_1})映射成$sigma^{v_2} $
(Usigma^{v}U^{dagger}=(-1)^{f(v)}sigma^{g(v)})
我们的下一步就是看这里的函数f(v)和g(v)需要满足哪些条件
这里面一个限制就是U变换不会改变操作本来的对易和反对易。
第二个等式是加上了(U^{dagger}U)，因为这两个乘积为(I)不会有影响
第三个等式是带入公式(Usigma^{v}U^{dagger}=(-1)^{f(v)}sigma^{g(v)})
如果这里面的(sigma^v)就是我们的(sigma^{v_1+v_2}),那么后面我们的到的就是((-1)^{f(v_1+v_2)}sigma^{g(v_1+v_2)})
即(g(v_1+v_2)=g(v_1)+g(v_2))，函数g是一个线性函数
g(v)=Mv
但是也不是所有的M是可行的。
(sigma^{v} sigma^{w} sigma^{v} sigma^{w}=(-1)^{v^{T}Lambda w} I) 其中(lambda=left(egin{array}{ll}0 & I \ 0 & 0end{array} ight))
我们可以先把他展开：
(U sigma^{N} U^{dagger}U sigma^{W} U^{dagger}U sigma^{N} U^{dagger}Usigma^{W}U=sigma^{Mv}sigma^{Mw}sigma^{Mv}sigma^{Mw})
这里没有系数，因为两个一模一样的系数乘起来就是1，所以系数可以省略掉。
而如果把(sigma^{Mw}sigma^{Mv})交换一下可以变成：
((-1)^{(Mv)^TLambda Mw}I)
我们可以得出：
(v^T Lambda w= v^TM^T Lambda M w)
即(Lambda=M^T Lambda M)
而这个就是M需要满足的条件，属于symplectic group。