量子纠错码——Stabilizer codes

对于错误，一般有两种：

• random: 错误以一定的概率发生在每个比特上（对这种问题的研究一般是信息论中，信道熵一类的问题）
• worst case: 错误发生在某个比特上，这也是纠错码想要解决的问题

经典线性码：

主要是利用了定义在有限域(mathbb{F}_{2})上的线性代数，(mathbb{F}_{2}={0,1})，然后定义了两个操作，(+) 和 (cdot)。

(cdot)和正常的乘法一样，只有在(1 cdot1)的时候结果为1，其余都为0，而(+)则有一点小不同，因为这是一个封闭的有限域，所以(1+1)不等于2而是等于0，计算结果模2。

现在已经有了(mathbb{F}_{2})，每一个比特都是这么的一个空间，如果我们有n比特，那么我们的空间就是(mathbb{F}_{2}^{n})，在这个空间上我们可以定义向量。

假定我有了线性独立向量(g_1,...,g_k)我们把写着称之为generator of the code，由他们我们可以张成封闭子空间 (C)，(C geq mathbb{F}_{2}^{n})，这个空间的中的向量都可以由(a_1g_1+a_2g_2+...+a_kg_k)表达，其中(a_1,...,a_k)也都属于(mathbb{F}_{2})，这个空间的维度为k。

这里我们定义一个矩阵G，他的每一列都由generator (g_1,...,g_k)表示，所以这是一个(n*k)的矩阵。如果用属于(mathbb{F}_{2}^{k})的向量来表示(a_1,...,a_k)，则上面的式子就可以变成(Ga)，这相当于是一个映射，把空间(mathbb{F}_{2}^{k})映射成了(C)。

这相当于就是一个编码方法了，把(mathbb{F}_{2}^{k})空间里的k位向量，编码成(C)空间里的n位向量，我们只需要做一个矩阵和向量的乘法即可。

用一个例子来说明一下：

多数码：我们的码字空间就是(C={0^n,1^n})，用n个0来表示0，n个1来表示1，G就是一个简单的全1的列向量。

现在来看我们的编码结果，(egin{pmatrix} 1\1\...\1end{pmatrix}a=egin{pmatrix} x_1\x_2\...\x_nend{pmatrix})。

对于向量x有什么是要满足的吗？

如果我们的编码计算没有问题的话，我们的(x_1=x_2),(x_2=x_3)，……，(x_{n_1}=x_n)，这个永也可以用另一个种方式表达，(x_1+x_2=0)因为只有在他们同时为1或者同时为0的时候才会加起来为0。

为此，我们可以定义一个新的矩阵H，(H= egin{pmatrix} 1 &1 & 0& ... & 0 \ 0 & 1 & 1 & ... & 0 \ ... \ 0 & 0 & ... & 1& 1 end{pmatrix})只有对角线上两个1，其他都是0.

有这个矩阵有什么用呢？

如果我们有了这个矩阵，我们可以用来验证我们的编码是不是对的，通过计算(Hx=0)如果等于0，那么我们的编码就是对的，如果不等于0，那么我们的编码就发生了错误。

H也就是我们的检测矩阵 check matrix，如果G是n*k 的矩阵的话，H就是(n-k)*n的矩阵。

我们聊这么久的线性码的意义何在？

因为我们可以把H 也就是 check matrix 拓展到量子的领域，也就是我们的Stabilzer code。

经典线性码，有两种等价的描述，(C_{c l}=operatorname{Im}(G)=operatorname{ker}(H) leq mathbb{F}_{2}^{n})

对H来说，C空间里的任意一个向量都和H的每一个行向量的内积都是0，(H x=0 Longleftrightarrowlangle x, h angle = 0 forall h in operatorname{Im}(H^{dagger}))

从量子的角度来看，我们的量子码字空间(C=span{|x angle: x in C_{cl}})和它对应的check aatrix H。

(forall h in operatorname{Im}(H^{dagger}))我们选择这么一个操作(Z^{h}=Z_{1}^{h_{1}} ldots Z_{n}^{h_{n}})作用在 $|x angle $ 上，得到(Z^{h}|x angle=Z_{1}^{h_{1}}left|x_{1} ight angle otimes ldots otimes Z_{n}^{h_{n}}left|x_{n} ight angle=(-1)^{langle h, x angle}|x angle)。因为(langle h, x angle=0)，所以(Z^h|x angle=|x angle)。

也就是说，(|x angle)是(Z^h)特征值为1的特征向量。

(C=left{|psi angle: Z^{h}|psi angle=|psi angle forall h in operatorname{Im} H ight})这个条件的另一种描述方法就是(|psi angle) is stabilized by(Z^h)。

Stabilizer是什么？

定义

Stabilizer group(S)是什么？

简单来说，stabilizer group(S)就是满足了以下两个条件的Pauli群的子群。

Pauli群是什么？

(left{omega^{c} X_{j}^{a_{j}} Z_{j}^{b_{j}} ight}_{j=1, ldots, N}^{a_{j}, b_{j}, c=0, ldots, d-1})其中 (w=e^{2pi i/d}) ，并且这个群是封闭的。

那么需要满足的两个条件是什么呢？

1. S里面的所有的元素都是对易的，即可以交换，S is an abelian subgroup of (P_n)
2. -I不在S里面

这两个条件其实是统一的，可以相互推导，在S里没有-I很容易理解，如果有了-I，那么满足(-I |x angle = |x angle)的(|x angle)就只有0向量了。

如果在S里面没有-I，那么反对易的元素也不在S里面，Pauli矩阵要么是对易要么反对易，如果它们是反对易的，则存在(S i g h g h=-g h h g=-I)，与第二个要求矛盾。

Stabilizer 子空间

Stabilizer 子空间就是(V_S={|psi angle: g|psi angle=|psi angle, forall g in S})。

一个stabilizer group(S)就有一个对应的stabilizer subspace，S里面的任意一个操作作用在这个子空间里都不会有什么变化。

例子

• (V_{S}=operatorname{span}{|00 angle})，对于这个子空间，(S={I I, I Z, Z I, Z Z}=langle I Z, Z I angle)，之所以后面还划出来了一个IZ和ZI，那么是因为II和ZZ可以通过这两个相乘得到，我们也说， S is generated by IZ,ZI。
• (V_{S}=operatorname{span}{|000 angle,|111 angle})这就是我们先前说的重复编码，对于这个子空间，他的S就是(S=langle Z Z I, I Z Z angle)前面的两个ZZ保证的是第一个比特和第二个比特是相同的，后面两个ZZ保证的是第二个比特和第三个比特是相同的。
• (V_{S}=operatorname{span}{|+++ angle,|--- angle})对于这种情况，找他的S也很容易，因为就是一个换基的过程(S=langle X X I, I X X angle)。

投影算子

现在我们还可以来描述这个子空间的投影算子，我们可以先定义一个(Pi_{S})使得(Pi_{S}=frac{1}{|S|} sum_{g in S} g)

如果(g in S)，那么(g Pi_{S}=Pi_{S})，证明这一点很容易，因为：

(g sum_{h in S} h=sum_{h in S} g h=sum_{h^{prime}=g h in S} h^{prime})

(g in S)同样也可以导出(g^{dagger} in S)，因为S是一个封闭可逆的群，那么我们可以得出么(g^{dagger} Pi_{S}=Pi_{S})，即么(Pi_{S}^{dagger} Pi_{S}=Pi_{S})

这说明了(Pi_{S})是一个投影算子。

接下来要说明(Pi_{S})投影的子空间就是我们想要的(V_S)，这个分为两方面：

1. 对任意的(|psi angle)和(g in S)来说，(g Pi_{S}|psi angle=Pi_{S}|psi angle)，也就是(Pi_{S}|psi angle in V_{S})。
2. 如果(|psi angle in V_{S})，则(Pi_{S}|psi angle=|psi angle)，即(V_{S} subseteq Pi_{S})。

综上，我们可以说，(Pi_{S}=operatorname{Proj}left(V_{S} ight))是子空间上的投影算子。

我们现在可以来计算子空间的维度，让(|S|=2^{ell})，generator (S=leftlangle s_{1}, ldots, s_{ell} ight angle)，

子空间的维度说起来简单，就是所有stabilizer特征值为1所对应的特征空间的交集，但是谁知道他们是怎么相交的呢？还好我们有投影算子。

我们可以说，(operatorname{dim} V_{S}=operatorname{tr} Pi_{S})，这里的特征值只有0和1，而trace会把1给累加起来。

(operatorname{tr} Pi_{S}=frac{1}{|S|} sum_{g in S} operatorname{tr} g=frac{1}{2^{ell}} sum_{g in S} 2^{n} delta_{g, I}=2^{n-ell})

只有(g=I)的时候trace才有值，其他情况就是普通的Pauli，trace为0，而什么情况(g=I)呢？事实上只有一种情况，那就是所有的a都为0，因为他们是线性独立的，所以我们子空间的维度是(2^{n-l})

错误检测

回顾我们经典的检测矩阵H，我们有(x in C_{c l} Longleftrightarrow H x=0)，并不是所有的错误我们都能检测，如果这个错误是把一个可能的码字，变成另一个可能的码字，那么H怎么能知道这个是错误而不是一个正确的操作的？

如果错误正好是(H(x+e)=H e=0)，那么这种错误就是不可检测的错误。

量子版本的stabilizer code也是如此。

那么，哪些错误是不能检测的呢？

那就是如果我犯了这个错误，但是我依旧在这组stabilizer的子空间里，这种错误就是不可检测的，因为我分不出来这究竟是错误还是操作。

假设(|psi angle in V_{S})，(E in P_{n})，则：(E|psi angle in V_{S} quad Leftrightarrow quad g E|psi angle=E|psi angle forall g in S)

(g E|psi angle=E|psi angle)意味着(g E|psi angle=Eg|psi angle)，则Eg和gE是相等的，E和g对易。

如果我们的错误和我们的stabilizer对易，那么这种错误就是我们不能检测出来的错误。

问题接下来就变成了，如何判断Pauli算子是否对易。

首先，所有的Pauli都可以写成(p=(-1)^{a} X^{b} Z^{c})的形式，对于(a in mathbb{F}_{2}, b, c in mathbb{F}_{2}^{n})

那么假定我们有另一个Pauli (q=(-1)^{a^{prime}} X^{b^{prime}} Z^{c^{prime}})

则(p q=(-1)^{a+a^{prime}} X^{b} Z^{c} X^{b^{prime}} Z^{c^{prime}})

对于中间的(Z^{c} X^{b^{prime}}=Z_{1}^{c_{1}} cdots Z_{n}^{c_{n}} X_{1}^{b_{1}^{prime}} cdots X_{n}^{b_{n}^{prime}}=X^{b^{prime}} Z^{c}(-1)^{leftlangle b^{prime}, c ight angle})，即，如果Z和X在这一位上都有，那么就会有一个-1.

那么现在pq就变成了，(p q=(-1)^{a+a^{prime}+leftlangle b^{prime}, c ight angle} X^{b+b^{prime}} Z^{c+c^{prime}})

同理，qp可以写成(q p=(-1)^{a+a^{prime}+leftlangle b, c^{prime} ight angle} X^{b+b^{prime}} Z^{c+c^{prime}})

很容易发现，(p q=(-1)^{leftlangle c, b^{prime} ight angle+leftlangle b, c^{prime} ight angle} q p)，如果-1上面的指数是0，那么他们就对易，反之，如果上面的指数是1，那么他们就反对易。

而这个，我们又可以写成这样的形式(leftlangle c, b^{prime} ight angle+leftlangle b, c^{prime} ight angle=left(egin{array}{ll}b^{T} & c^{T}end{array} ight)left(egin{array}{cc}0_{n} & I_{n} \ I_{n} & 0_{n}end{array} ight)left(egin{array}{l}b^{prime} \ c^{prime}end{array} ight)=left(egin{array}{ll}b^{T} & c^{T}end{array} ight) Lambdaleft(egin{array}{l}b^{prime} \ c^{prime}end{array} ight))

所以泡利矩阵是否对易的关键记载于看((b c))和((b' c'))之间是否垂直了，这里垂直的顶i的是定义是symplectic inner product