剑指offer7:斐波那契数列

题目描述：

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项。

n<=39

思路：

递归和循环两种发解法
递归就是f(n)=f(n-1)+f(n-2);但递归的效率低。每次函数调用，都要在内存栈中分配空间以存储参数、返回地址以及临时变量，而且会出现栈溢出
循环就是使用两个参数保存已经计算好的中间项，下次需要计算的时候查找一下，如果存在就不用再计算了。

public class Fibonacci {
    //递归
//    public int fibonacci(int n){
//        if(n==0) return 0;
//        if(n==1||n==2) return 1;
//        else {
//            return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
//        }
//    }
    //循环
    public static int fibonacci(int n){
        int first = 1;
        int second = 0;
        int result = 0;
        if(n==0) result =  0;
        if(n==1||n==2) result = 1;
    
        for(int i = 2;i<=n;i++){
            result = first + second;
            second = first;
            first = result;
        }
        return result;
    }
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int n = 3;
        System.out.println(fibonacci(n));
    }

}

变形：跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路：

n个台阶可以看做f(n)，则第一次跳有两个选择，跳一阶或跳两阶，对应剩下n-1即为f(n-1)和f(n-2),即斐波那契数列

再变形：变态跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

数学归纳法可证明f(n)=2^(n-1)

或者使用递归，f(n)=2*f(n-1)

跳1级，剩下n-1级，则剩下跳法是f(n-1)
跳2级，剩下n-2级，则剩下跳法是f(n-2)
所以f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...+f(1)
因为f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+...+f(1)
所以f(n)=2*f(n-1)

import java.util.*;
public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if(target<0) return -1;
        else if(target==1) return 1;
       // else return 2*JumpFloorII(target-1);
        else return (int)Math.pow(2,target-1);
    }
}

 再变形：矩阵覆盖

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

如果小于1，则为0  等于1，则为1

大于等于2，则可以有横着放和竖着放两种情况  横着放则为f(n-1),竖着放则为f(n-2)

又变成斐波那契数列

public class Solution {
    public int RectCover(int target) {
        if(target  < 1){
            return 0;
        }
        if(target==1)return 1;
        if(target*2 == 2){
            return 1;
        }else if(target*2 == 4){
            return 2;
        }else{
            return RectCover((target-1))+RectCover(target-2);
        }
    }
}