第三次作业

 参考书《数据压缩导论（第4版）》  Page 100

 5、给定如表4-9所示的概率模型，求出序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁ 的实值标签。

            

 答：

 由题意可得：求序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁ 的实值标签就是求序列113231的实值标签。

 设上界 u⁽⁰⁾ =1,  下界 l⁽⁰⁾=0，符号集A={a₁，a₂，a₃}，且P(a₁)=0.2，P(a₂)=0.3，P(a₃)=0.5

由于P(x=i)=P(a_i)，所以P(x=1)=P(a₁)=0.2，

                               P(x=2)= P(a₂)=0.3，

                                P(x=3)=P(a₃)=0.5.

  Fx(0)=0,  F_x(1)=P(a₀)+ P(a₁)=0.2,  F_x(2)=P(a₁)+ P(a₂)=0.5, F_x(3)=P(a₁)+ P(a₂)+P(a₃)=1

又由于u^(k)=l^(k-1)+(u^(k-1)-l^(k-1))*F_x(x_k)

       l^(k)=l^(k-1)+(u^(k-1)-l^(k-1))*F_x(x_k-1)

所以结果如下：

该序列的第一个元素为1

       u⁽¹⁾=l⁽⁰⁾+(u⁽⁰⁾-l⁽⁰⁾)*F_x(1)=0+(1-0)*0.2=0.2

       l⁽¹⁾=l⁽⁰⁾+(u⁽⁰⁾-l⁽⁰⁾)*F_x(0)=0+(1-0)*0=0

所以该标签的区间[0,0.2)

该序列的第二个元素为1

      u⁽²⁾=l⁽¹⁾+(u⁽¹⁾-l⁽¹⁾)*F_x(1)=0+(0.2-0)*0.2=0.04

       l⁽²⁾=l⁽¹⁾+(u⁽¹⁾-l⁽¹⁾)*F_x(0)=0+(0.2-0)*0=0

所以序列1 1标签的区间[0，0.04)

该序列的第三个元素为3

      u⁽³⁾=l⁽²⁾+(u⁽²⁾-l⁽²⁾)*F_x(3)=0+(0.04-0)*1 =0.04

       l⁽³⁾=l⁽²⁾+(u⁽²⁾-l⁽²⁾)*F_x(2)=0+(0.04-0)*0.5=0.02

所以该序列标签的区间[0.02，0.04)

该序列的第四个元素为2

      u⁽⁴⁾=l⁽³⁾+(u⁽³⁾-l⁽³⁾)*F_x(2)=0.02+(0.04-0.02)*0.5 =0.03

       l⁽⁴⁾=l⁽³⁾+(u⁽³⁾-l⁽³⁾)*F_x(1)=0.02+(0.04-0.02)*0.2=0.024

所以序列2 3标签的区间[0.024，0.03)

该序列的第五个元素为3

      u⁽⁵⁾=l⁽⁴⁾+(u⁽⁴⁾-l⁽⁴⁾)*F_x(3)=0.024+(0.03-0.024)*1=0.03

       l⁽⁵⁾=l⁽⁴⁾+(u⁽⁴⁾-l⁽⁴⁾)*F_x(2)=0.024+(0.03-0.024)*0.5=0.027

所以该序列标签的区间[0.027，0.03)

该序列的第六个元素为1

      u⁽⁶⁾=l⁽⁵⁾+(u⁽⁵⁾-l⁽⁵⁾)*F_x(1)=0.027+(0.03-0.027)*0.2=0.0276

       l⁽⁶⁾=l⁽⁵⁾+(u⁽⁵⁾-l⁽⁵⁾)*F_x(0)=0.027+(0.03-0.027)*0=0.027

所以该序列标签的区间[0.027，0.0276)

综上可得序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁ 的实值标签为：

                                                       T_x(113231)= ( u⁽⁶⁾ + l⁽⁶⁾   )/2

                                                                       =(0.0276+0.027)/2

                                                                       =0.0546/2

                                                                       =0.0273

  6、对于表4-9所示的概率模型，对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码。

答：

 根据题意可得：

第一种方法：

#include<stdio.h>
int main()
{
    int a[10];
    double t,F[100];
    F[0]=0,F[1]=0.2,F[2]=0.5,F[3]=1;
    double l[100]={0.0},u[100]={1.0};
    double tag=0.63215699;
    int n=10,k;
    for(k=1;k<=10;k++)
    {
        t=(tag-l[k-1])/(u[k-1]-l[k-1]);
        if(t>F[0]&&t<F[1])
        {
            l[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[0];
             u[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[1];
            a[k]=1;
        }
        else if(t>F[1]&&t<F[2])
        {
             l[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[1];
            u[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[2];
            a[k]=2;
        }
        else
         
        {
            l[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[2];
            u[k]=l[k-1]+(u[k-1]-l[k-1])*F[3];
            a[k]=3;
        }
        printf("%d",a[k]);
            
    }
    return 0;
}
 

调试结果如下：

 

综上可得：对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码结果为：3221213223。

第二种方法：

由表4-9可得： Fx(0)=0,  F_x(1)=P(a₀)+ P(a₁)=0.2,  F_x(2)=P(a₁)+ P(a₂)=0.5, F_x(3)=P(a₁)+ P(a₂)+P(a₃)=1

设上界 u⁽⁰⁾ =1,  下界 l⁽⁰⁾=0

  u⁽¹⁾=l⁽⁰⁾+(u⁽⁰⁾-l⁽⁰⁾)*F_x(x₁)= 0+(1-0)*F_x(x₁)=F_x(x₁)

   l⁽¹⁾=l⁽⁰⁾+(u⁽⁰⁾-l⁽⁰⁾)*F_x(x₁-1)= 0+(1-0)*F_x(x₁-1)=F_x(x₁-1)

当x₁=3时，则区间为[0.5,1)，标签为0.63215699在区间为[0.5,1)内，所以满足条件；

  u⁽²⁾=l⁽¹⁾+(u⁽¹⁾-l⁽¹⁾)*F_x(x₂)=0.5+(1-0.5)*F_x(x₂)=0.5+0.5F_x(x₂)

   l⁽²⁾=l⁽¹⁾+(u⁽¹⁾-l⁽¹⁾)*F_x(x₂-1)=0.5+(1-0.5)*F_x(x₂-1)=0.5+0.5F_x(x₂-1)

当x₂=2时，则区间为[0.6，0.75)，标签为0.63215699在区间为[0.6，0.75)内，所以满足条件；

  u⁽³⁾=l⁽²⁾+(u⁽²⁾-l⁽²⁾)*F_x(x₃)=0.6+(0.75-0.6)*F_x(x₂)=0.6+0.15F_x(x₃)

   l⁽³⁾=l⁽³²+(u⁽²⁾-l⁽²⁾)*F_x(x₃-1)=0.6+(0.75-0.6)*F_x(x₂-1)=0.6+0.15F_x(x₃-1)

当x₃=2时，则区间为[0.63,0.675)，标签为0.63215699在区间为[0.63,0.675)内，所以满足条件；

   u⁽⁴⁾=l⁽³⁾+(u⁽³⁾-l⁽³⁾)*F_x(x₄)=0.63+(0.675-0.63)*F_x(x₄)=0.63+0.045*F_x(x₄)

     l⁽⁴⁾=l⁽³⁾+(u⁽³⁾-l⁽³⁾)*F_x(x₄-1)=0.63+(0.675-0.63)*F_x(x₄-1)=0.63+0.045*F_x(x₄-1）

当x₄=1时，则区间为[0.63,0.639)，标签为0.63215699在区间为[0.63,0.639)内，所以满足条件；

    u⁽⁵⁾=l⁽⁴⁾+(u⁽⁴⁾-l⁽⁴⁾)*F_x(x₅)=0.63+(0.639-0.63)*F_x(x₅)=0.63+0.009*F_x(x₅)

     l⁽⁵⁾=l⁽⁴⁾+(u⁽⁴⁾-l⁽⁴⁾)*F_x(x₅-1)=0.63+(0.639-0.63)*F_x(x₅-1)=0.63+0.009*F_x(x₅-1）

当x₅=2时，则区间为[0.6318,0.6345)，标签为0.63215699在区间为[0.6318,0.6345)内，所以满足条件；

      u⁽⁶⁾=l⁽⁵⁾+(u⁽⁵⁾-l⁽⁵⁾)*F_x(x₆)=0.6318+(0.6345-0.6318)*F_x(x₆)=0.6318+0.0027*F_x(x₆)

       l⁽⁶⁾=l⁽⁵⁾+(u⁽⁵⁾-l⁽⁵⁾)*F_x(x₆-1)=0.6318+(0.6345-0.6318)*F_x(x₆-1)=0.6318+0.0027*F_x(x₆-1)

当x₆=1时，则区间为[0.6318,0.63234)，标签为0.63215699在区间为[0.6318,0.63234)内，所以满足条件；

     u⁽⁷⁾=l⁽⁶⁾+(u⁽⁶⁾-l⁽⁶⁾)*F_x(x₇)=0.6318+(0.63234-0.6318)*F_x(x₇)=0.6318+0.00054*F_x(x₇)

       l⁽⁷⁾=l⁽⁶⁾+(u⁽⁶⁾-l⁽⁶⁾)*F_x(x₇-1)=0.6318+(0.63234-0.6318)*F_x(x₇-1)=0.6318+0.00054*F_x(x₇-1)

当x₇=3时，则区间为[0.63207,0.63234)，标签为0.63215699在区间为[0.63207,0.63234)内，所以满足条件；

     u⁽⁸⁾=l⁽⁷⁾+(u⁽⁷⁾-l⁽⁷⁾)*F_x(x₈)=0.63207+(0.63234-0.63207)*F_x(x₈)=0.63207+0.00027*F_x(x₈)

       l⁽⁸⁾=l⁽⁷⁾+(u⁽⁷⁾-l⁽⁷⁾)*F_x(x₈-1)=0.63207+(0.63234-0.63207)*F_x(x₈-1)=0.63207+0.00027*F_x(x₈-1)

当x₈=2时，则区间为[0.632124,0.632205)，标签为0.63215699在区间为[0.632124,0.632205)内，所以满足条件；

      u⁽⁹⁾=l⁽⁸⁾+(u⁽⁸⁾-l⁽⁸⁾)*F_x(x₉)=0.632124+(0.632205-0.632124)*F_x(x₉)=0.632124+（8.1e-5）*F_x(x₉)

       l⁽⁹⁾=l⁽⁸⁾+(u⁽⁸⁾-l⁽⁸⁾)*F_x(x₉-1)=0.632124+(0.632205-0.632124)*F_x(x₉-1)=0.632124+（8.1e-5）*F_x(x₉-1)

当x₉=2时，则区间为[0.6321402,0.6321645)，标签为0.63215699在区间为[0.6321402,0.6321645)内，所以满足条件；

      u⁽¹⁰⁾=l⁽⁹⁾+(u⁽⁹⁾-l⁽⁹⁾)*F_x(x₁₀)=0.6321402+(0.6321645-0.6321402)*F_x(x₁₀)=0.6321402+（2.43e-5）*F_x(x₁₀)

       l⁽¹⁰⁾=l⁽⁹⁾+(u⁽⁹⁾-l⁽⁹⁾)*F_x(x₁₀-1)=0.6321402+(0.6321645-0.6321402)*F_x(x₁₀-1)=0.6321402+（2.43e-5）*F_x(x₁₀-1)

当x₁₀=3时，则区间为[0.63215235,0.6321645)，标签为0.63215699在区间为[0.63215235,0.6321645)内，所以满足条件。

综上可得对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码结果为：3221213223

从今天起，做个幸福的人。