[2018.6.19集训]光图-多项式ln-生成函数

题目大意

定义一张无向图的价值为其联通块个数的$k$次方，求$n$个点构成的无向图的价值的期望。

$n leq 5*10^4,k leq 15$

题解

首先看到这个恶心人的$k$次方就会想要拆开。

那么设某张图的联通块个数为$T$，那么它的价值为

$$T^k=sum_{i=1}k{T choose i}{k race i}i!$$

考虑其组合意义，可以将上式理解为枚举$T$中所有大小为$i$的联通块集合，并对每种大小乘以${k race i}i!$的贡献。
于是，可以改变枚举顺序，考虑枚举联通块集合，再计算这个集合在多少张图上存在，最后乘上${k race i}i!$即可。

于是设$g_t$为包含$t$个联通块的无向连通图的方案数的生成函数。
易知$g_1$便是经典的无向连通图的生成函数，可以用分治FFT、多项式求逆、多项式求$ln$等方法来解决。
而对于剩下$t geq 2$的$g_t$来说，有:
$$g_t(n)=sum_{i=1}^n{n-1 choose i-1} g_1(i) g_{t-1}(n-i)$$
拆一下组合数便可得到可以FFT的式子了。

最后计算答案的式子为:
$$ans=sum_{i=1}^{k}{k race i}i!sum_{j=1}^ng_i(n-j)*2{j choose 2}$$
后边的求和符号在用FFT预处理后可以$O(1)$查询。

于是就完成了，使用多项式求$ln$的情况下预处理复杂度$O(knlog n)$，单次询问$O(k)$。

代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int K=17;
const int M=5e4+5;
const int N=2e5+9;
const int md=1004535809;

int rev[N],n,m,k;
ll fac[N],inv[N];
ll g[K][N],s[K][K];
ll t[K][N],h[N],f[N];

inline ll qpow(ll a,ll b)
{
	ll ret=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)ret=ret*a%md;
		a=a*a%md;b>>=1;
	}
	return ret;
}

inline ll c(ll a,ll b){return fac[a]*inv[b]%md*inv[a-b]%md;}

inline void initrev(int n)
{
    for(int i=0;i<n;i++)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(n>>1));
}

inline void ntt(ll *a,int n,bool f)
{
	for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int h=2;h<=n;h<<=1)
	{
		ll w=qpow(3,(md-1)/h);
		if(f)w=qpow(w,md-2);
		for(int j=0;j<n;j+=h)
		{
			ll wn=1ll,x,y;
			for(int k=j;k<j+(h>>1);k++)
			{
				x=a[k],y=wn*a[k+(h>>1)]%md;
				a[k]=(x+y)%md;a[k+(h>>1)]=(x-y+md)%md;
				wn=wn*w%md;
			}
		}
	}
	if(f)
		for(ll i=0,inv=qpow(n,md-2);i<n;i++)
			a[i]=a[i]*inv%md;
}

inline void mul(ll *a,int n,ll *b,int m,ll *c)
{
	static ll d[N],e[N],l;
	for(l=1;l<=n+m;l<<=1);initrev(l);
	for(int i=0;i<n;i++)d[i]=a[i];
	for(int i=n;i<l;i++)d[i]=0;
	for(int i=0;i<m;i++)e[i]=b[i];
	for(int i=m;i<l;i++)e[i]=0;
	ntt(d,l,0);ntt(e,l,0);
	for(int i=0;i<l;i++)
		d[i]=d[i]*e[i]%md;
	ntt(d,l,1);
	for(int i=0;i<n+m-1;i++)
		c[i]=d[i];
}

inline void cinv(ll *a,ll *b,int n)
{
	static ll c[N];
	if(n==0){b[0]=qpow(a[0],md-2);return;}
	cinv(a,b,n>>1);
	for(int i=0;i<n;i++)c[i]=a[i];
	for(int i=n;i<n*2;i++)c[i]=0;
	n<<=1;initrev(n);
	ntt(c,n,0);ntt(b,n,0);
	for(int i=0;i<n;i++)
		b[i]=(2ll*b[i]%md-c[i]*b[i]%md*b[i]%md+md)%md;
	ntt(b,n,1);n>>=1;
	for(int i=n;i<n*2;i++)b[i]=0;
}

inline void cln(ll *a,ll *b,int n)
{
	static ll c[N],d[N],l;
	memset(c,0,sizeof(c));
	memset(d,0,sizeof(d));

	for(int i=0;i<n;i++)
		c[i]=a[i];
	for(l=1;l<=n;l<<=1);
	cinv(c,d,l);
	for(int i=0;i<n;i++)
		c[i]=c[i+1]*(i+1)%md;
	l<<=1;initrev(l);
	ntt(c,l,0);ntt(d,l,0);
	for(int i=0;i<l;i++)
		d[i]=c[i]*d[i]%md;
	ntt(d,l,1);

	for(int i=1;i<n;i++)
		b[i]=d[i-1]*qpow(i,md-2)%md;
	b[0]=0;
}

inline void init()
{
	fac[0]=1;
	for(ll i=1;i<N;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i%md;
	inv[N-1]=qpow(fac[N-1],md-2);
	for(ll i=N-1;i>=1;i--)
		inv[i-1]=inv[i]*i%md;

	for(ll i=0;i<M;i++)
		h[i]=qpow(2,i*(i-1)/2)*inv[i]%md;
	cln(h,f,M);
	for(ll i=1;i<=M;i++)
		f[i]=f[i]*fac[i]%md*inv[i-1]%md;

	g[0][0]=1;
	for(int i=0;i<K-1;i++)
	{
		for(int j=1;j<M;j++)
			g[i][j]=g[i][j]*fac[j-1]%md*inv[j]%md;
		mul(g[i],M,h,M,t[i]);
		mul(g[i],M,f,M,g[i+1]);
	}

	s[0][0]=1;
	for(int i=1;i<K;i++)
	{
		s[i][0]=0;s[i][i]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)
			s[i][j]=(j*s[i-1][j]%md+s[i-1][j-1])%md;
	}
}

inline int mina()
{
	scanf("%d%d",&n,&k);
	if(k==0)return puts("1"),0;
	ll ans=0,all=qpow(2,(ll)n*(n-1ll)/2ll);
	for(int i=1;i<=k;i++)
		(ans+=s[k][i]*fac[i]%md*t[i][n]%md)%=md;
	printf("%lld
",ans*fac[n]%md*qpow(all,md-2)%md);
}

int main()
{
	init();
	int T;scanf("%d",&T);
	while(T--)mina();
	return 0;
}