SPFA算法——最短路径
粗略讲讲SPFA算法的原理，SPFA算法是1994年西安交通大学段凡丁提出
是一种求单源最短路的算法
算法中需要用到的主要变量
int n; //表示n个点，从1到n标号
int s,t; //s为源点，t为终点
int d[N]; //d[i]表示源点s到点i的最短路
int p[N]; //记录路径（或者说记录前驱）
queue <int> q; //一个队列，用STL实现，当然可有手打队列，无所谓
bool vis[N]; //vis[i]=1表示点i在队列中 vis[i]=0表示不在队列中
几乎所有的最短路算法其步骤都可以分为两步
1.初始化
2.松弛操作
初始化： d数组全部赋值为INF（无穷大）；p数组全部赋值为s（即源点），或者赋值为-1，表示还没有知道前驱
然后d[s]=0; 表示源点不用求最短路径，或者说最短路就是0。将源点入队；
（另外记住在整个算法中有顶点入队了要记得标记vis数组，有顶点出队了记得消除那个标记）
队列+松弛操作
读取队头顶点u，并将队头顶点u出队（记得消除标记）；将与点u相连的所有点v进行松弛操作，如果能更新估计值（即令d[v]变小），那么就更新，另外，如果点v没有在队列中，那么要将点v入队（记得标记），如果已经在队列中了，那么就不用入队
以此循环，直到队空为止就完成了单源最短路的求解
SPFA可以处理负权边
定理: 只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。
证明：
每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。（证毕）
期望的时间复杂度O(ke)， 其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。
判断有无负环：
如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）
SPFA的两种写法，bfs和dfs，bfs判别负环不稳定，相当于限深度搜索，但是设置得好的话还是没问题的，dfs的话判断负环很快
二.算法图解
给定一个有向图，求A~E的最短路。
源点A首先入队，并且AB松弛
扩展与A相连的边，B，C 入队并松弛。
B，C分别开始扩展，D入队并松弛
D出队，E入队并松弛。
E出队，此时队列为空，源点到所有点的最短路已被找到，A->E的最短路即为8
以上就是SPFA算法的过程。
1 int spfa_bfs(int s) 2 { 3 queue <int> q; 4 memset(d,0x3f,sizeof(d)); 5 d[s]=0; 6 memset(c,0,sizeof(c)); 7 memset(vis,0,sizeof(vis)); 8 9 q.push(s); vis[s]=1; c[s]=1; 10 //顶点入队vis要做标记，另外要统计顶点的入队次数 11 int OK=1; 12 while(!q.empty()) 13 { 14 int x; 15 x=q.front(); q.pop(); vis[x]=0; 16 //队头元素出队，并且消除标记 17 for(int k=f[x]; k!=0; k=nnext[k]) //遍历顶点x的邻接表 18 { 19 int y=v[k]; 20 if( d[x]+w[k] < d[y]) 21 { 22 d[y]=d[x]+w[k]; //松弛 23 if(!vis[y]) //顶点y不在队内 24 { 25 vis[y]=1; //标记 26 c[y]++; //统计次数 27 q.push(y); //入队 28 if(c[y]>NN) //超过入队次数上限，说明有负环 29 return OK=0; 30 } 31 } 32 } 33 } 34 35 return OK; 36 37 }
int spfa_dfs(int u) { vis[u]=1; for(int k=f[u]; k!=0; k=e[k].next) { int v=e[k].v,w=e[k].w; if( d[u]+w < d[v] ) { d[v]=d[u]+w; if(!vis[v]) { if(spfa_dfs(v)) return 1; } else return 1; } } vis[u]=0; return 0; }