蓄水池抽样算法

问题：

蓄水池抽样问题是，从一个长度为n的流中随机选取k个元素，使得n个元素中的每个元素都以相同的概率被采样到，通常情况下n是一个未知的很大的数目，而且无法将其载入主存中。

 

算法的正确性证明

定理：该算法保证每个元素以 k / n 的概率被选入蓄水池数组。

证明：首先，对于任意的 i，第 i 个元素进入蓄水池的概率为 k / i；而在蓄水池内每个元素被替换的概率为 1 / k; 因此在第 i 轮第j个元素被替换的概率为 (k / i ) * (1 / k) = 1 / i。 接下来用数学归纳法来证明，当循环结束时每个元素进入蓄水池的概率为 k / n.

假设在 (i-1) 次迭代后，任意一个元素进入 蓄水池的概率为 k / (i-1)。有上面的结论，在第 i 次迭代时，该元素被替换的概率为 1 / i， 那么其不被替换的概率则为 1 - 1/i = (i-1)/i；在第i 此迭代后，该元素在蓄水池内的概率为 k / (i-1) * (i-1)/i = k / i. 归纳部分结束。

因此当循环结束时，每个元素进入蓄水池的概率为 k / n. 命题得证。

解法：

算法首先创建一个长度为 k 的数组（蓄水池）用来存放结果，初始化为 N的前 k 个元素。然后从 k+1 个元素开始迭代直到数组结束，在 N的第 i 个元素，算法生成一个随机数 j∈[1,i]j∈[1,i]， 如果 j <= k， 那么蓄水池的第 j 个元素被替换为 N 的第 i 个元素。

伪代码：

Init : a reservoir with the size： k 
for i= k+1 to N
     j=random.randint(1, i);
        if( j < k)
             SWAP the jth value and ith value
   end for