• maximal-rectangle——找出最大矩形的面积


    Given a 2D binary matrix filled with 0's and 1's, find the largest rectangle containing all ones and return its area.

    PS:将其化解为柱状图求最大体积的问题。先用动态规划的思路,将矩形中垂直方向的连续1的数量进行计算。

    而后逐行扫描,并在扫描时将其转化为柱状图求体积。

    即若高度一直增加,则持续压入栈,当出现h[i]<栈顶高度时,则出栈,并计算出栈元素的所在矩形的体积。持续计算直到栈顶元素高度小于h[i],则将h[i]压栈。

    注意:计算时需要在原始数据队尾加入0以使得扫描继续到最后一个元素。此时队列长度为n+1,最大宽度n。

    计算矩形时,宽度为i-s.top-1,若栈内无元素,则表明h[i]之前的所有元素的高度都<h[i],则宽度为i。

    首先我们看一下下面的例子:

    height的内容是 [5,6,7,8,3],特点是除了最后一个,前面全部保持递增,且最后一个立柱的高度小于前面所有立柱高度。

    对于这种特点的柱状图,如果使用上面所说的“挨个使用每一个柱状图的高度作为矩形的高度,求面积”的方法,还需要用嵌套循环吗?

    我们知道除了最后一个,从第一个到倒数第二个立柱的高度都在升高,那么如果挨个使用每一个柱的高度作为矩形的高度,那么依次能得到的矩形的宽度就可以直接算出来:使用5作为高度可以使用前四个立柱组成 4*5的矩形,高度6可以组成3*6的矩形... 因此只需要遍历一次,选出最大面积即可。

    对于这种类型的柱状图,最大矩形面积的时间复杂度是O(n)。

    我们将这种特点的柱状图称为“波峰图”。

    下面介绍新的解法的步骤:

    (1) 在height尾部添加一个0,也就是一个高度为0的立柱。作用是在最后也能凑成上面提的那种“波峰图”。

    (2) 定义了一个stack,然后遍历时如果height[i] 大于stack.top(),进栈。反之,出栈直到栈顶元素小于height[i]。

    由于出栈的这些元素高度都是递增的,我们可以求出这些立柱中所围成的最大矩形。更妙的是,由于这些被弹出的立柱处于“波峰”之上(比如弹出i 到 i+k,那么所有这些立柱的高度都高于 i-1和 i+k+1的高度),因此,如果我们使用之前所提的“左右延伸找立柱”的思路解,以这些立柱的高度作为整个矩形的高度时,左右延伸出的矩形所包含的立柱不会超出这段“波峰”,因为波峰外的立柱高度都比他们低。“波峰图”其实就是求解最大矩形的“孤岛”,它不会干扰到外部。

    (3) 由于比height[i]大的元素都出完了,height[i]又比栈顶元素大了,因此再次进栈。如此往复,直到遍历到最后那个高度为0的柱,触发最后的弹出以及最后一次面积的计算,此后stack为空。

    (4) 返回面积最大值。

    栈中存的不是高度,而是height的索引,这样做的好处是不会影响宽度的计算,索引值相减 = 宽度。

     1 class Solution {
     2 public:
     3     int maximalRectangle(vector<vector<char> > &matrix) {
     4         int m=matrix.size();
     5         int n=matrix[0].size();
     6         if(m<1||n<1) return 0;
     7         vector<vector<int>> v(m,vector<int>(n,0));
     8         for(int i=0;i<n;i++)
     9             v[0][i]=matrix[0][i]=='1';
    10         for(int i=0;i<n;i++){
    11             for(int j=1;j<m;j++){
    12                 v[j][i]=matrix[j][i]=='1'?v[j-1][i]+1:0;
    13             }
    14         }
    15         int max=0;
    16         for(int i=0;i<m;i++){
    17             int tmp=sol(v[i]);
    18             if(tmp>max) max=tmp;
    19         }
    20         return max;
    21     }
    22     int sol(vector<int> v){
    23         v.push_back(0);
    24         int n=v.size();
    25         stack<int> s;
    26         int res=0;
    27         for(int i=0;i<n;i++){
    28             while(!s.empty()&&v[s.top()]>=v[i]){
    29                 int index=s.top();
    30                 s.pop();
    31                 int max=v[index]*(s.empty()?i:(i-s.top()-1));
    32                 if(max>res) res=max;
    33             }
    34             s.push(i);
    35         }
    36         return res;
    37     }
    38 };
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zl1991/p/7071916.html
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