1、基本概念
堆分为小根堆和大根堆，对于一个小根堆，它是具有如下特性的一棵完全二叉树：
（1）若树根结点存在左孩子或右孩子，则根结点的值（或某个域的值）小于等于左右孩子结点的值（或某个域的值）
（2）以左、右孩子为根的子树又各是一个堆。
大根堆的定义将上面的小于等于改成大于等于即可。
根据根的定义，小根堆的堆顶结点具有最小值，大根堆的堆顶结点具有最大值。
2、堆的存储结构
由于堆是一棵完全二叉树，所以适宜采用顺序存储结构，这样能够充分利用存储空间。
顺序存储结构：
对堆中所有结点进行编号，作为下标存储到指定数组的对应元素中，下标从0开始。按照从上到下，同一层从左到右进行。
设堆中有n个结点，则编号为 0 ~ n-1，则有如下性质：
（1）编号为 0 至 [n/2-1] 的结点为分支结点， 编号为 [n/2] 至 n-1 的结点为叶子结点；
（2）当 n 为奇数则每个分支结点既有左孩子又有右孩子，当 n 为偶数则每个分支结点只有左孩子没有右孩子
（3）对于每个编号为 i 的分支结点，其左孩子结点的编号为 2i+1，右孩子结点的编号为 2i+2
（4）除编号为0的堆顶结点外，对于其余编号为 i 的结点，其双亲结点的编号为 [(i-1)/2]
下图为一个堆及其顺序存储结构
3、堆的操作及运算
用如下程序详细展示堆的操作及运算，程序之后将还会有详细的讲解操作过程的实现原理。
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> typedef int ElemType; struct HeapSq //定义堆的顺序存储类型 { ElemType* heap; //定义指向动态数组空间的指针 int len; //定义保存堆长度的变量,即数组长度，数组下标从0开始 int MaxSize; //用于保存初始化时所给的动态数组空间的大小 }; //1、初始化堆 void InitHeap(struct HeapSq* HBT, int MS) { if (MS <= 0) { printf("数组长度参数不合适，需重新给定！ "); exit(1); } HBT->heap = malloc(MS*sizeof(ElemType)); if (!HBT->heap) { printf("用于动态分配的内存空间用完，退出运行！ "); exit(1); } HBT->MaxSize = MS; HBT->len = 0; } //2、清除堆 void ClearHeap(struct HeapSq* HBT) { if (HBT->heap != NULL) { free(HBT->heap); HBT->len = 0; HBT->MaxSize = 0; } } //3、检查一个堆是否为空 int EmptyHeap(struct HeapSq* HBT) { if (HBT->len == 0) return 1; else return 0; } //4、向堆中插入一个元素 void InsertHeap(struct HeapSq* HBT, ElemType x) { int i; if (HBT->len == HBT->MaxSize) //若堆满，将数组空间扩展为原来的2倍 { ElemType *p; p = realloc(HBT->heap, 2*HBT->MaxSize*sizeof(ElemType)); if (!p) { printf("存储空间用完！ "); exit(1); } printf("存储空间已扩展为原来的2倍！ "); HBT->heap = p; HBT->MaxSize = 2*HBT->MaxSize; } HBT->heap[HBT->len] = x; //向堆尾添加新元素 HBT->len++; //堆长度加1 i = HBT->len - 1; //i指向待调整元素的位置，即其数组下标，初始指向新元素所在的堆尾位置 while (i != 0) { int j = (i - 1) / 2; //j指向下标为i的元素的双亲 if (x >= HBT->heap[j]) //若新元素大于待调整元素的双亲，则比较调整结束，退出循环 break; HBT->heap[i] = HBT->heap[j]; //将双亲元素下移到待调整元素的位置 i = j; //使待调整位置变为其双亲位置，进行下一次循环 } HBT->heap[i] = x;//把新元素调整到最终位置 } //5、从堆中删除堆顶元素并返回 ElemType DeleteHeap(struct HeapSq* HBT) { ElemType temp, x; int i, j; if (HBT->len == 0) { printf("堆已空，退出运行！ "); exit(1); } temp = HBT->heap[0]; //暂存堆顶元素 HBT->len--; if (HBT->len == 0) //若删除操作后堆为空则返回 return temp; x = HBT->heap[HBT->len]; //将待调整的原堆尾元素暂存x中，以便放入最终位置 i = 0; //用i指向待调整元素的位置，初始指向堆顶位置 j = 2 * i + 1;//用j指向i的左孩子位置，初始指向下标为1的位置 while (j <= HBT->len - 1)//寻找待调整元素的最终位置，每次使孩子元素上移一层，调整到孩子为空时止 { if (j < HBT->len - 1 && HBT->heap[j] > HBT->heap[j+1])//若存在右孩子且较小，使j指向右孩子 j++; if (x <= HBT->heap[j]) //若x比其较小的孩子还小，则调整结束，退出循环 break; HBT->heap[i] = HBT->heap[j];//否则，将孩子元素移到双亲位置 i = j; //将待调整位置变为其较小的孩子位置 j = 2 * i + 1;//将j变为新的待调整位置的左孩子位置，继续下一次循环 } HBT->heap[i] = x; //把x放到最终位置 return temp; //返回原堆顶元素 } //主函数 void main() { int i, x; int a[8] = {23,56,40,62,38,55,10,16}; struct HeapSq b; InitHeap(&b, 10); for (i = 0; i < 8; i++) InsertHeap(&b, a[i]); while (!EmptyHeap(&b)) //依次删除堆顶元素并显示出来，直到堆空为止 { x = DeleteHeap(&b); printf("%d", x); if (!EmptyHeap(&b)) printf(","); } printf(" "); system("pause"); ClearHeap(&b); }
运行结果：
分析：
（1）讲下堆的插入操作：
向堆中插入一个元素时，首先将该元素写入到堆尾，即堆中最后一个元素后面（下标为 len 的位置上），然后调整为一个新堆。
调整方法：若新元素小于双亲结点的值，就让它们互换位置，新元素换到双亲位置后，使得以该位置为根的子树称为堆；
然后再对该位置与其双亲结点的值比较，做同样的调整，直到以新位置的双亲结点为根仍是一个堆，或者调整到堆顶为止，此时整个树变称为了一个堆。
上面的程序，依次将数组[23,56,40,62,38,55,10,16]的中的元素插入堆，插入过程如下：
我们拿其中一个步骤具体分析，比如插入最后一个元素16时，插入之前的示意图为上图中的倒数第二个图，在此图的基础上，将16插入堆尾，即62的左孩子位置，
此时16比其双亲62小，则使其与62互换位置，而此时16又比它所处的新位置的双亲38小，则再与38互换，最后此时16比它所处的新位置的双亲10大，则调整结束，
最后结果即为上图中的最后一个图所示。
（2）讲下堆的删除操作
删除操作是删除堆顶元素，留下的堆顶位置由堆尾位置填补，然后将其调整为一个新堆，
调整方法：新的堆顶元素值若大于两个孩子结点中的最小值，就将它与具有最小值的孩子结点互换位置，
在被换到孩子结点位置后，再对此位置与其孩子结点最小值比较，进行同样的调整，
直到以调整后的位置为根的子树称为一个堆，或者调整到叶子结点为止。
上面的程序依次删除堆顶元素的过程如下：
我们拿其中一个具体分析，如删除第一个堆顶元素10时，删除之前的示意图为上图中的第一个图，在此图的基础上，将10删除，然后将堆尾元素62放在堆顶，
此时，62比其所在位置的孩子的最小值16大，则将其与16位置互换，而此时62又比其所在位置的孩子的最小值38大，则将其与38位置互换，此时的62所在的位置是
叶子结点，调整结束，最后的结果为上图中的第二个图所示。