q-binomial 学习笔记

定义

[[n]_q = sumlimits_{i=0}^{n-1} q^i = lim_{x ightarrow q} frac{1-x^n}{1-x}, [ n ] !_q = prod_{i=1}^n [i]_q, {n rack m}_q = frac {[n]!_q} {[m]!_q [n - m]!_q} ]

容易发现 ({n rack m}_1 = inom{n}{m})。

同时，展开可得：

[{n rack m}_q = lim_{x ightarrow q} frac{prod_{1 le i le n}frac{1-x^i}{1-x}}{prod_{1 le i le m}frac{1-x^m}{1-x}prod_{1 le i le n-m}frac{1-x^m}{1-x}} \= lim_{x ightarrow q}frac{prod_{n-m+1 le i le n} (1-x^i)}{prod_{1 le i le m} (1-x^i)} ]

结论

1. ({n rack m}_q = {n rack n-m}_q)

显然。

2. 若 (n ge 1)， ({n rack m}_q = {n-1 rack m-1}_q + q^m {n-1 rack m}_q)

证明

下文的 (q) 为 (q) 无线趋近于 q 的。

[{n-1 rack m-1}_q + q^m{n-1 rack m}_q ]

[= frac{prod_{n-m+1 le i le n-1} (1-q^i)}{prod_{1 le i le m-1} (1-q^i)} + q^mfrac{prod_{n-m le i le n-1} (1-q^i)}{prod_{1 le i le m} (1-q^i)} ]

[= frac{((1-q^m) prod_{n-m+1 le i le n-1} (1-q^i))+(q^mprod_{n-m le i le n-1} (1-q^i))}{prod_{1 le i le m} (1-q^i)} ]

[= frac{((1-q^m) prod_{n-m+1 le i le n-1} (1-q^i))+((q^m-q^{n})prod_{n-m+1 le i le n-1} (1-q^i))}{prod_{1 le i le m} (1-q^i)} ]

[= frac{((1-q^{n})prod_{n-m+1 le i le n-1} (1-q^i))}{prod_{1 le i le m} (1-q^i)} ]

[= frac{prod_{n-m+1 le i le n} (1-q^i))}{prod_{1 le i le m} (1-q^i)} ]

[= {n rack m}_q ]

带入 (m = n - m) 可以证明 ({n rack m}_q = q^{n-m} {n-1 rack m-1}_q + {n-1 rack m}_q)。

同时我们得到了一个 ({n rack m}_q) 的组合意义： 从 ((0,0)) 开始，每次向上或向右走一步，走到 ((n-m,m)) 的所有路径中，(q^{路径右下方的格子数}) 的和。

3. (prod_{i=0}^{n-1} (1+q^iy) = sumlimits_{i=0}^n q^{inom{i}{2}} {n rack i}_q y^i)

证明

在 (n = 1) 的时候显然满足。

(n > 1) 时：

[prod_{i=0}^{n-1} (1+q^iy) = (1+q^{n-1}y) prod_{i=0}^{n-2} (1+q^iy) ]

[= sumlimits_{i=0}^{n-1} q^{inom{i}{2}} {n-1 rack i}_q y^i + sumlimits_{i=1}^{n} q^{inom{i-1}{2}} q^{n-1} {n-1 rack i-1}_q y^i ]

[= sumlimits_{i=0}^{n} (q^{inom{i}{2}} {n-1 rack i}_q + q^{inom{i-1}{2}} q^{i-1} q^{n-i} {n-1 rack i-1}_q) y^i ]

[= sumlimits_{i=0}^{n} q^{inom{i}{2}} {n rack i}_q y^i ]

同时，我们又得到了一个 ({n rack i}_q) 的组合意义：在一个长度为 (n) 的序列中，取集合 (S)，({n rack i}_q = sumlimits_{|S| = i} prod_{i in S} q^{i 前没有被选的元素数})

4. ({n + m rack k}_q = sumlimits_{i=0}^k q^{(n-i)(k-i)} {n rack i}_q {m rack k-i}_q)

证明

可以观察其组合意义：({n + m rack k}_q) 即为有长度为 (n) 的序列，取集合 (S)，(prod_{i in S} q^{i 前没有被选的元素数})。

拆成左右两半，左边 (n) 个元素，右边 (m) 个元素。设左边集合为 (S_l)，右边为 (S_r)，那么：

左边贡献为 (prod_{i in S_l} q^{左边 i 前没有被选的元素数})，右边为 (prod_{i in S_r} q^{i 前没有被选的元素数 + n - |S_l|} = q^{(n-|S_l|)|S_r|} prod_{i in S_r} q^{i 前没有被选的元素数})。

原式相当于枚举 (|S_l|)，然后相乘两边贡献。

5. ({n + m + 1 rack n + 1}_q = sumlimits_{i=0}^m q^i {n + i rack n}_q)

证明：不断展开结论 2 中的 ({n rack m}_q = q^{n-m} {n-1 rack m-1}_q + {n-1 rack m}_q) 即可。

6. (frac{1}{prod_{i=0}^n (1-q^ix)} = sumlimits_{i ge 0} x^i {i+n rack n}_q)

证明

考虑数学归纳。在 (n = 0) 的时候显然成立。

[F = sumlimits_{i ge 0} x^i {i+n rack n}_q ]

[= sumlimits_{i ge 0} x^i {i+n-1 rack n-1}_q + q^n sumlimits_{i ge 0} x^{i} {i+n-1 rack n}_q ]

[= sumlimits_{i ge 0} x^i {i+n-1 rack n-1}_q + q^n x sumlimits_{i ge 0} x^{i} {i+n rack n}_q ]

[= frac{1}{prod_{i=0}^{n-1} (1-q^ix)} + q^n x F ]

因此有 (F = frac{1}{1 - q^nx} frac{1}{prod_{i=0}^{n - 1} (1-q^ix)} = frac{1}{prod_{i=0}^{n} (1-q^ix)})。

试试看！

CF1603F

考虑如何求秩为 (r) 的 (n) 元组个数。

考虑让初始序列只剩下基中的元素，然后再在元素间插入。基中的元素只要满足前面的元素凑不出来当前元素即可，显然方案数是 (prod_{0 le i < r} (2^k - 2^i))。

接着在基中的元素间插入。插入在第 (i) 个元素之后的方案数显然是 (2^i)。

因此插入产生贡献的生成函数是 (prod_{0 le i le r} frac{1}{1-2^ix} [x^{n-r}])。

根据结论 6，我们可以得到 (prod_{0 le i le r} frac{1}{1-2^ix} [x^{n-r}] = {n rack r}_2)。

因此秩为 (r) 的 (n) 元组个数为 ({n rack r}_2prod_{0 le i < r} (2^k - 2^i))

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考虑原问题怎么做。

如果 (x = 0)，那么答案就是秩为 (k) 的矩阵个数。

如果 (x eq 0)，可以发现对所有 (x) 答案都是一样的，所以只要算出能表示出多少非 (0) 数即可。如果秩为 (r)，那能表示出 (2^r-1) 个数，所以直接做即可。

aclink

SOJ #703. 【SPC #3】布尔立方 ~ Boolean Cube

发现如果不考虑主视和左视互不相同，是好做的。

考虑容斥，钦定左视图分成了 (i) 组，主视图分成了 (j) 组，设其答案为 (G_{i,j})。设左视图恰好分成了 (i) 组，主视图恰好分成了 (j) 组的方案为 (F_{i,j})。

那么有 (G_{n,m} = sumlimits_{i le n} sumlimits_{j le m} egin{Bmatrix} n \ i end{Bmatrix}egin{Bmatrix} m \ j end{Bmatrix} F_{i,j})。

考虑斯特林反演，得 (F_{n,m} = sumlimits_{i le n} sumlimits_{j le m} egin{bmatrix} n \ i end{bmatrix}egin{bmatrix} m \ j end{bmatrix} (-1)^{n-i+m-j} G_{i,j})。

因此答案为 ：

[sumlimits_{i le L} sumlimits_{j le W} egin{bmatrix} L \ i end{bmatrix}egin{bmatrix} W \ j end{bmatrix} (-1)^{W-j+L-i} G_{i,j} ]

根据上一题的结论，有 (G_{n,m} = prod_{1 le k le H} {n rack r_k}_2 prod_{0 le i < r_k} (2^m - 2^i))

而 (prod_{0 le i < r_k} (2^m - 2^i) = prod_{0 le i < r_k} 2^i(2^{m-i} - 1) = 2^{inom{r_k}{2}} frac{[m]!_2}{[m-r_k]!_2})

[sumlimits_{i le L} sumlimits_{j le W} egin{bmatrix} L \ i end{bmatrix}egin{bmatrix} W \ j end{bmatrix} (-1)^{W-j+L-i} G_{i,j} ]

[sumlimits_{i le L} sumlimits_{j le W} egin{bmatrix} L \ i end{bmatrix}egin{bmatrix}F W \ j end{bmatrix} (-1)^{W-j+L-i} prod_{1 le k le H} 2^{inom{r_k}{2}} frac{[m]!_2}{[m-r_k]!_2}{n rack r_k}_2 ]

注意到现在第一维和第二维无关了！

[(prod_{1 le k le H} 2^{inom{r_k}{2}} frac{1}{[r_k]!_2}) (sumlimits_{i le L} egin{bmatrix} L \ i end{bmatrix} (-1)^{L-i} prod_{1 le k le H} frac{[i]!_2}{[i-r_k]!_2} ) (sumlimits_{j le W} egin{bmatrix} W \ j end{bmatrix} (-1)^{W-j}prod_{1 le k le H} frac{[j]!_2}{[j-r_k]!}) ]

考虑如何对所有 (i) 算出 (f_i = prod_{1 le k le H} frac{[i]!_2}{[i-r_k]!_2})。这里只有乘法，因此求 (ln) 之后就变成了 (Hln([i]!_2) - sum_{1 le k le H} ln([i-r_k]!_2))，卷积即可（题解做法好像是 CZT，差分一下确实是 CZT 的形式，可能会更好写）

然后目标变为了对所有 (0 le N le 10^5)，求 (g_N = sumlimits_{i le N} egin{bmatrix} N \ i end{bmatrix} (-1)^{N-i} f_i) 的值。

观察到这很像是下降幂转普通幂的柿子，但转移矩阵似乎恰好反了。

因此考虑转置原理。我们要求的是：

(egin{pmatrix} egin{bmatrix} 0 \ 0 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 0 \ 1 end{bmatrix} & egin{bmatrix} 0 \ 2 end{bmatrix} & cdots& (-1)^negin{bmatrix} 0 \ n end{bmatrix} \ -egin{bmatrix} 1 \ 0 end{bmatrix} & egin{bmatrix} 1 \ 1 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 \ 2 end{bmatrix} & cdots& (-1)^{n-1} egin{bmatrix} 1 \ n end{bmatrix} \ egin{bmatrix} 2 \ 0 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 2 \ 1 end{bmatrix} & egin{bmatrix} 2 \ 2 end{bmatrix} & cdots& (-1)^{n-2}egin{bmatrix} 0 \ n end{bmatrix} \ vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\ (-1)^negin{bmatrix} n \ 0 end{bmatrix} & (-1)^{n-1}egin{bmatrix} n \ 1 end{bmatrix} & (-1)^{n-2}egin{bmatrix} n \ 2 end{bmatrix} & cdots& (-1)^{n-n}egin{bmatrix} n \ n end{bmatrix} \ end{pmatrix} f)

考虑求其转置：给出 (u)，求 (v_k = sumlimits_{i=0}^{n} u_i (-1)^{n-i} egin{bmatrix} i \ k end{bmatrix})。

这下就是下降幂转普通幂了！

link，还未 AC（雾）