群论基础
符号：
记\(|G|\)为\(G\)的阶 ,即元素个数
若\(H \le G\) ,记\(G/H\)为\(G\)中所有\(H\)的左陪集
若\(H \le G\) ,记\([G:H]\)为\(H\)对\(G\)的指数 ,即\(H\)在\(G\)中的不同的左陪集的数量
群
定义：若集合\(G \neq \varnothing\) ,在\(G\)上的二元运算 \(\cdot\) ,其共同构成的代数结构\((G,\cdot)\) ,满 足：
1.封闭性：\(\forall a,b \in G ,a \cdot b \in G\)
2.结合律：\(\forall a,b,c \in G,(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)\)
3.单位元：\(\exists e \in G,\forall a \in G,e \cdot a=a \cdot e=a\)
4.逆元 ：\(\forall a \in G,\exists I \in G,a \cdot I=I \cdot a=e\)
则\((G,\cdot)\)称为一个群
性质：
1.单位元唯一:
若\(\exists e_1,e_2,e_1 \neq e_2\) ,有\(e_1=e_1 \cdot e_2=e_2\) ,矛盾
2.逆元唯一 ：
若\(\exists I_1,I_2,I_1 \neq I_2\) ,有\(I_1=I_1 \cdot e=I_1 \cdot a \cdot I_2=I_2\) ,矛盾
子群
定义：若\(H\)为\(G\)的非空子集 ,且\((H,\cdot)\)构成群 ,则称\(H\)是\(G\)的子群 ,记为\(H \leqslant G\)
商集
定义：集合\(A\)为集合\(B\)关于等价关系\(\sim\)的商集合 ,记为\(A=B/\sim\)
陪集
定义：若\(G\)是一个群 ,\(H\)是\(G\)的一个子群 ,\(g\)是\(G\)的一个元素 ,则：
\(gH=\{g \cdot h|h \in H\}\) ,则称\(gH\)为\(H\)在\(G\)内关于\(g\)的左陪集
\(Hg=\{h \cdot g|h \in H\}\) ,则称\(Hg\)为\(H\)在\(G\)内关于\(g\)的右陪集
性质(以左陪集为例)：
1.\(\forall g \in G,|H|=|gH|\)
显然运算前后阶不变
2.\(\forall g \in G,g\in gH\)
\(H\)必然包含\(e\) ,故必然有\(g \in gH\)
3.\(gH=H \Longleftrightarrow g \in H\)
由封闭性可知
4.\(aH=bH \Longleftrightarrow a \cdot b^{-1} \in H\)
有\(a \cdot b^{-1} \in H\) ,故由(3)可知命题成立
5.\(aH \cap bH \neq \varnothing \Longleftrightarrow aH=bH\)
设\(c \in aH,c \in bH\) ,于是\(\exists p_1,p_2 \in H\), 使得\(p_1 \cdot a=c,p_2 \cdot b=c\) ,故 \(a \cdot b^{-1}=p_1^{-1} \cdot p_2 \in H\) ,由(4)可得命题成立
6.\(H\)全体左陪集的并为\(G\)
因为\(e \in H\) ,故得证
正规子群
定义：对于\(\forall g \in G，\exists gH=Hg\) ,则称\(H\)是\(G\)的正规子群
商群
定义：对于群\(G\)和\(G\)的一个正规子群\(N\) ,构筑\(G\)在\(N\)上的商群 ,记为\(G/N\) ,即\(N\) 在\(G\)中所有的左陪集的集合 ,\(G/N=\{gN,g \in G\}\)
拉格朗日定理
若\(H\)为有限群\(G\)的子群 ,则\(|H|\)整除\(|G|\) ,\(|G|=|H|[G:H]\)
证明：
因为\(H\)在\(G\)中的每一个左陪集都是一个等价类 ,把\(G\)做左陪集分解 ,由于 每一个左陪集的元素个数都为\(|H|\) ,故\(|H|\)整除\(|G|\) ,商为\([G:H]\)
置换
定义：一个集合到自身的双射
表示：\(\sigma=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}\end{pmatrix}\)
轮换
定义:\(\sigma\)是\(\Omega\)上一个置换 ,若\(\Omega\)中一些点\(a_1,a_2,\cdots,a_s\) , 使得\(a^\sigma_1=a_2,a^\sigma_2=a_3,\cdots,a^\sigma_{n-1}=a_n,a^\sigma_n=a_1\) ,而\(\sigma\)保持\(\Omega\)中其余点保持不 动 ,那么\(\sigma\)称作一个轮换 ,记作\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\) ,若两个轮换没有公共的变 动点 ,则称两个轮换不相交 ,每一个置换都能表示为不相交轮换的乘积 ，且表示方法唯一 ,一个长度为\(n\)的置换的\(k\)次方可分解成的轮换数是 \((n,k)\)
置换群
定义：一个\(n\)元集合的全体\(n\)元置换构成的群
性质：
1.封闭性：\(\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\b_1,b_2,\cdots,b_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1,b_2,\cdots,b_n\\c_1,c_2,\cdots,c_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\c_1,c_2,\cdots,c_n\end{pmatrix}\)
2.结合性：\((\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\b_1,b_2,\cdots,b_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1,b_2,\cdots,b_n\\c_1,c_2,\cdots,c_n\end{pmatrix})\begin{pmatrix}d_1,d_2,\cdots,d_n\\e_1,e_2,\cdots,e_n\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\b_1,b_2,\cdots,b_n\end{pmatrix}(\begin{pmatrix}b_1,b_2,\cdots,b_n\\c_1,c_2,\cdots,c_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d_1,d_2,\cdots,d_n\\e_1,e_2,\cdots,e_n\end{pmatrix})\)
3.单位元：\(\begin{pmatrix}1,2,\cdots,n\\1,2,\cdots,n\end{pmatrix}\)
4.逆元 ：\(\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\b_1,b_2,\cdots,b_n\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}b_1,b_2,\cdots,b_n\\a_1,a_2,\cdots,a_n\end{pmatrix}\)
作用：
\(G\)是一个群 ,\(\Omega\)为一个非空集合 ,\(G\)中每一个元素\(g\)都对应\(\Omega\)的一个映射 ,\(x \rightarrow x_g,x \in \Omega\) ,若满足：
1.\(x^{g_1g_2}=(x^{g_1})^{g_2}\)
2.\(x^e=x\)
则称\(G\)作用于\(\Omega\)上
轨道-稳定子定理
轨道：\(H=\{g \cdot x,x \in \Omega,g \in G\}\) ,则称\(H\)为\(\Omega\)在\(G\)作用下的一个轨道 ,代表元为 \(x\) ,记作\(G \cdot x\)
稳定子：\(H=\{g \in G,g \cdot x=x\}\) ,则称\(H\)为\(\Omega\)的稳定子群 ,记作\(G_x\)
有：\(|G|=|G \cdot x||G_x|\)
证明：
考虑一个映射\(f:G \rightarrow \Omega,\forall g \in G,f(g)=g \cdot x\) ,则可以在\(G_x\)的左陪集集合和 轨道\(G \cdot x\)间建立一个双射 ,\(gG_x\)唯一对应\(g \cdot x\) ,因为\(gG_x\)中的元素作用在\(x\) 上的结果均为\(g \cdot x\) ,根据拉格朗日定理 ,\(G_x\)在\(G\)中左陪集个数为\([G:G_x]\) , 故\(|G \cdot x|=[G:G_x] \rightarrow |G|=|O_x||G_x|\)
Burnside引理
内容：\(G\)是一个有限群 ,\(G \rightarrow \Omega\) ,对每一个\(g \in G\)令\(\Omega^g\)表示\(\Omega\)在\(g\)作用下的不动 点 ,则有\(|\Omega/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G}|\Omega^g|\)
证明：
对\(\sum\limits_{g \in G}|\Omega^g|\)改变求和方式 ,
\(\sum\limits_{g \in G}|\Omega^g|=|\{(g,x) \in G \cdot \Omega|g \cdot x=x\}|=\sum\limits_{x \in \Omega}|G_x|\)
根据轨道-稳定子定理
\(\sum\limits_{x \in \Omega}|G_x|=\sum\limits_{x \in \Omega}\frac{|G|}{|G \cdot x|}=|G|\sum\limits_{x \in \Omega}\frac{1}{|G \cdot x|}\)
将\(x\)按照等价类划分 ,\(G \cdot x\)就是\(x\)所在等价类
\(\sum\limits_{x \in \Omega}\frac{1}{|G \cdot x|}=\sum\limits_{A \in \Omega/G}\sum\limits_{x \in A}\frac{1}{|A|}=\sum\limits_{A \in \Omega/G}1=|\Omega/G|\)
故：\(|\Omega/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G}|\Omega^g|\) ,得证
Polya定理
对于有\(m\)种颜色的染色问题 ,\(|\Omega^g|=m^{c(g)}\)
考虑组合意义 ,\(|\Omega^g|\)表示在置换\(g\)作用下 ,保持不变的方案数 ,把\(g\)分解为不相 交的\(c(g)\)个轮换的乘积 ,若要其染色方案不变 ,则此染色方案中\(g\)分解成的每一 个不相交轮换都要染相同的颜色 ,故\(|\Omega^g|=m^{c(g)}\)
代入Burnside引理可得 ,\(|\Omega/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G}m^{c(g)}\)