题意
给出一个 (n × m) 大小的矩形，每个位置可以填上 ([1, c]) 中的任意一个数，要求填好后任意两行互不等价且任意两列互不等价，两行或两列等价当且仅当对应位置完全相同，求方案数 。
(n, m le 5000)
题解
这题是 Wearry 出的神题，根本不会做。。。把题解搬过来了。
首先我们有一个很简单的方式使得列之间互不等价，对于任意一列，总方案数是 (c^n) , 那么使得列与列之间互不相同的方案数为 ({(c^n)}^{underline{m}}) 。
接下来的问题只与行数有关 , 定义 (g(n)) 表示 (n) 行不保证每行互不等价的方案数 , (f(n)) 表示 (n) 行保证任意两行互不等价的方案数 , 有 :
[egin{align}
g(n) &= {(c^n)}^{underline{m}}\
&= sum_{i=0}^{n} {n race i} f(i)\
end{align}
]
考虑这个式子的意义，就是枚举了有几行是不同的，然后将 (n) 行分成这 (i) 种不同的行（每个非空）的方案。
然后考虑斯特林反演就行了。（此处指不带符号的第一类斯特林数）
[egin{align}
g(n) &= sum_{i=0}^{n} {n race i} f(i) \
Leftrightarrow
f(n) &= sum_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} egin{bmatrix}n\ iend{bmatrix} g(i)
end{align}
]
然后在 (O(nm)) 的时间里求出第一类斯特林数，就可以做完了。
其实还有更快的求法，但是对于这题原来数据没有必要。
见此博客 orz orz 生成函数大师 SunwayShichengLight 。
瓶颈在分治 (NTT) 处理下降幂那里，可以优化到 (O(n log^2 n)) 。
总结
对于行列计算方案的题，常常可以考虑枚举一维，用容斥或者斯特林反演做。
对于另外一维可以快速计算可行的方案，来除掉一维的限制。
代码
自己写