第四章 向量空间

4.1 向量空间的定义和例子

定义 4.1.1

定义 (V) 是 (mathbb F) 上一个 向量空间、线性空间 ，此时 (V) 中元素称为 向量，然后定义 零向量、负向量 。（在上面定义了 加法、数乘 ）

例 4.1.2

• (mathbb F^n, M_{m,n}(mathbb F), mathrm{Hom}_{mathbb F}(mathbb F^n, mathbb F^m)) 是向量空间
• (mathbb F) 是向量空间，若 (mathbb K) 也是数域且 (mathbb F subseteq mathbb K) 那么 (mathbb K) 是 (mathbb F) 上的一个向量空间（数乘的数在 (mathbb F) 中）。（如 (mathbb C, mathbb R) 是 (mathbb Q) 上的向量空间）
• (mathbb F_n[x]) （关于 (x) 次数 (le n) 的多项式集合）是向量空间
• (C([a, b])) （ ([a, b]) 上连续实函数），(D([a, b])) （ ([a, b]) 上所有可微实函数）是 (mathbb R) 上向量空间
• 收敛到 (0) 的实数无穷数列集合
• 手动定义加法和数乘的映射 (mathbb F^{X}) 是向量空间
• 定义 (mathbb R^+) 上加法 (ab) 数乘 (a^k) 为 (mathbb R) 上向量空间
• 只含零向量空间为零空间

定义 4.1.3

若 (V) 的非空子集 (W) 满足加法和数乘封闭，那么 (W) 是 (V) 的一个子空间。

• ({0}) 和 (V) 称为平凡子空间
• (W) 是子空间当且仅当 (kalpha + leta in W(forall alpha, eta in W, k, l in mathbb F))

4.2 向量的线性相关性，基与维数

可以把 (1.3) 的结论推广到任意向量空间，证明也可以一字不动搬过来

定义线性表示、线性相关、线性无关，以及两个向量组的等价关系。

定理 4.2.1(Steinitz Exchange Lemma)

同 (1.3. 11)

推论 4.2.2

若 (V) 中两个线性无关向量组等价，则元素个数一样。

定义 4.2.3

定义线性无（相）关子集和基。（任意有限个互不相同的向量总是线性无关的子集和）

注记 4.2.4

(emptyset) 看做零空间向量的基。

例 4.2.5

• 把 (mathbb C) 看做 (mathbb R) 上一个向量空间，那么 ({1, i}) 是一个基。
• (V = mathbb F[x]) 的一个基为 (mathcal B = {1, x, x^2, dots, x^n, dots}) 。
• ({1, x, x^2, dots, x^n, dots}) 为 (C[a, b](a < b)) 的一个线性无关子集，({e^{nx}| n ge 0}) 也是一个线性无关子集。

• [delta_x: X o mathbb F, y mapsto egin{cases} 1, & y = x\ 0, & y ot= xend{cases} ]
  有 (mathcal B = {delta_x | x in X}) 是 (mathbb F^{(X)}) 的一个基。

定义 4.2.6

若 (V) 存在一个有限子集 (S = {alpha_1, dots, alpha_m}) 使得 (V = mathcal L(S)) 那么称 (V) 是有限维的。

注记 4.2.7

若 (V) 是个无限维向量空间，那么 (forall n in mathbb N^*)， (V) 中都存在 (n) 个线性无关的向量。

定义 4.2.8

定义集合 (S) 的极大（线性）无关组。

命题 4.2.9

(S) 为 (V) 的一个含有非零向量的向量组，那么 (S) 一定有极大线性无关组，且任意两个极大无关组所含向量个数相同。

定理 4.2.10

设 (V) 是一个有限维向量空间，则 (V) 一定有基，并且它任意两个基所含向量个数相等。（可推广到无限维向量空间）

定义 4.2.11

设 (V) 是一个有限维向量空间且 (mathcal B) 是 (V) 的一个基，那么称 (|B) 是 (V) 的维数，记作 (mathrm{dim}_{mathbb F} = |mathcal B|) 。 若 (V) 为无限维则 (mathrm{dim}_{mathbb F} = infty) 。

命题 4.2.12

设 (V) 是一个 (n) 维向量空间，那么任意 (n + 1) 个向量线性无关。

命题 4.2.13

设 (V) 是一个有限维向量空间，那么 (V) 中任意一个线性无关组向量都可以扩充成 (V) 的一个基。

推论 4.2.14

设 (W) 是有限维向量 (V) 的一个子空间，则 (W) 是有限维的，并且 (W) 的基总可以扩充成 (V) 的一个基。特别地 (mathrm {dim}_{mathbb F} W le mathrm {dim}_{mathbb F} V)

4.3 坐标与基变化

若 (alpha = x_1alpha_1 + x_2alpha_2 + dots + x_n alpha_n) 称 ((x_1, x_2, dots, x_n)) 是
(alpha) 在基 ({alpha_1, alpha_2, dots, alpha_n}) 下的坐标或坐标向量。

若对于任意一组数 (k_1, k_2, dots, k_m in mathbb F) 总有

[k_1 xi_1 + k_2 xi_2 + dots + k_m xi_m = 0 Leftrightarrow k_1 eta_1 + k_2 eta_2 + dots + k_m eta_m = 0 ]

因此总有 (mathrm r({xi_1, xi_2, dots, xi_m}) = mathrm r({eta_1, eta_2, dots, eta_m}))

定义 4.3.1

定义基 ({alpha_1, alpha_2, dots, alpha_n}) 到基 ({eta_1, eta_2, dots, eta_n}) 的过渡矩阵 (A) 有

((eta_1, eta_2, dots, eta_n) = (alpha_1, alpha_2, dots, alpha_n) A)

例 4.3.2

在平面上 (V_2) 上取两个正交的单位向量 (alpha_1, alpha_2) 它们构成 (V_2) 的一个基，则转 ( heta) 角得到 (alpha_1', alpha_2') 那么 ({alpha_1', alpha_2'}) 也是一个基，则过渡矩阵为

[egin{pmatrix} cos heta & -sin heta\ sin heta & cos heta end{pmatrix} ]

定理 4.3.3

({alpha_1, alpha_2, dots, alpha_n}) 到基 ({eta_1, eta_2, dots, eta_n}) 的过渡矩阵为 (A) ；
({eta, eta_2, dots, eta_n}) 到基 ({gamma_1, gamma_2, dots, gamma_n}) 的过渡矩阵为 (B) ；
则
({alpha_1, alpha_2, dots, alpha_n}) 到基 ({gamma_1, gamma_2, dots, gamma_n}) 的过渡矩阵为 (AB) 。

定理 4.3.4

• 过渡矩阵可逆，逆矩阵为反过来的过渡矩阵
• 若 (A) 为 (n) 阶可逆矩阵，且 ({alpha_1, alpha_2, dots, alpha_n}) 为基且 ((eta_1, eta_2, dots, eta_n) = (alpha_1, alpha_2, dots, alpha_n) A) 那么 ({eta, eta_2, dots, eta_n}) 也是基，且 (A) 为过渡矩阵

4.4 子空间的交与和，商空间

(V) 是 (mathbb F) 上一个向量空间，且 (V_1, V_2) 是 (V) 的子空间，那么 (V_1 cap V_2) 是 (V) 的子空间。

(V_1 + V_2 = {alpha_1 + alpha_2 ~|~ alpha_1 in V_1, alpha_2 in V_2}) 为 (V_1, V_2) 的和，也为 (V) 的子空间。

(V_1 + V_2 + dots + V_s = mathcal L(V_1 cup V_2 cup dots cup V_s))

即 (V_1 + V_2 + dots + V_s) 为包含 (V_1, V_2, dots, V_s) 的最小子空间。

注记 4.4.1

[igcap_{i in I} V_i = {alpha in W | alpha in V_i, forall i in I}\ sum_{i in I} V_i = mathcal L(cup_{i in I} V_i) = {alpha_1 + cdots + alpha_m} ]

定理 4.4.3

(V_1, V_2) 为 (V) 的两个有限维子空间，则

[mathrm{dim}(V_1 + V_2) = mathrm{dim} V_1 + mathrm{dim} V_2 - mathrm{dim}(V_1 cap V_2) ]

考虑把 (V_1, V_2, V_1 cap V_2) 的基表示出来，然后就证他们并后的基线性无关即可。那个考虑反证法，可以逐次倒退出系数全为 (0) 。

定义 4.4.4

设 (V_1, V_2, dots, V_m) 为 (V) 的 (m) 个子空间，若 (forall 1 le i le m) 有

[V_i cap (V_1 + cdots + V_{i- 1} + V_{i + 1}) ]

则称 (V_1 + V_2 + cdots + V_m) 为直和，记作

[V_1 oplus V_2 oplus cdots oplus V_m ]

定理 4.4.6

设 (V_1, V_2, dots, V_m) 为 (V) 的 (m) 个有限维子空间，记 (V = V_1 + V_2 cdots + V_m) 则下列命题等价：

• (W = V_1 oplus V_2 oplus cdots oplus V_m) 是直和
• (forall 2 le i le m) 有
  [V_i cup (V_1 + cdots + V_{i - 1}) = 0 ]

• (mathrm{dim} W = mathrm{dim} V_1 + mathrm{dim} V_2 + cdots + mathrm{dim} V_{m})
• 若 ({alpha_{i1}, alpha_{i2}, dots, alpha_{it_i}}) 为 (V_i) 一个基，其中 (t_i = mathrm{dim} V_i, i = 1, 2, dots, m) 则
  [mathcal B = {alpha_{ij} | 1 le i le m, 1 le j le t_i} ]
  为 (V) 的一个基
• (W) 中每个向量唯一表示成 (V_1, V_2, dots, V_m) 中向量之和，即若 (alpha in W) 且
  [alpha = alpha_1 + dots + alpha_m = eta_1 + dots + eta_m ]
  其中 (alpha_i, eta_i in V_i) 则 (alpha_i = eta_i, forall 1 le i le m)

推论 4.4.8

(W) 是 (V) 的一个子空间，则存在 (V) 的子空间 (W') 使得 (V = W oplus W')

我们称上述子空间 (W') 为 (W) 的余空间或补空间。

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设 (W) 是 (V) 的一个子空间，在 (V) 上定义二元关系：

[alpha sim eta Leftrightarrow alpha - eta in W ]

称作 (alpha) 与 (eta) 模 (W) 同余，亦记作 (alpha equiv eta pmod W)

对于任意 (alpha in V) 用 (overline alpha) 记作 (alpha) 的等价类，即有

[overline alpha = {eta in W | eta sim alpha} = {alpha + xi | xi in W} =: alpha + W ]

我们也称 (alpha + W) 是 (W) 的一个陪集，用 (V/W) 记 (V) 中所有等价类（即 (W) 的所有陪集）的集合，称 (V) 关于子空间 (W) 的商集。

进一步，(V) 上的加法运算导出一个映射

[V/W imes V/W o V imes W\ (overline alpha, overline eta) mapsto overline {alpha + eta} =: overline alpha + overline eta ]

这个是合理定义的（也就是不取决于代表元的选取）

同时可以定义数乘，也是合理定义的。

综上得到，上述定义的加法和数乘 (V / W) 是 (mathbb F) 上的一个向量空间，称为 (V) 关于子空间 (W) 的商空间。

命题 4.4.9

设 (W) 是向量空间 (V) 的一个子空间

• 若 (alpha_1 + W, alpha_2 + W, dots, alpha_n + W) 在 (V / W) 中线性无关，则 (alpha_1, dots, alpha_n) 是 (V) 中一个线性无关的向量组。
• 设 (V / W) 是有限维的且 (alpha_1 + W, alpha_2 + W, dots, alpha_n + W) 是 (V / W) 的一个基，则 (V = W oplus U) ，其中 (U = mathcal L(alpha_1, alpha_2, dots, alpha_n))

进一步 (W) 是 (V) 的一个子空间，且假设 (mathcal X) 是 (W) 的一个基。那么根据命题存在 (V) 的一个线性无关子集 (mathcal Y) 使得 (mathcal X cap mathcal Y = emptyset) 且 (mathcal B = mathcal X cup mathcal Y) 有 (overline mathcal B = {overline eta = eta + W ~|~ eta in mathcal Y}) 是 (V / W) 的一个基。

因此 (mathrm{dim} V / W = mathrm{dim} V - mathrm{dim} W) 此时，我们称 (mathrm{dim} V / W) 是 (W) 在 (V) 中的余维数。

4.5 向量空间的同构

作为向量空间 (V) 与 (mathbb F^n) 的结构是相同的。

定义 4.5.1

设 (V, W) 是数域 (mathbb F) 上两个向量空间且 (phi: V o W) 是个双射。若 (forall alpha, eta in W, k in mathbb F) 有

[phi(alpha + eta) = phi(alpha) + phi(eta), phi(k alpha) = kphi(alpha) ]

那么称 (phi) 是 (V) 到 (W) 的一个同构（映射），称 (V) 与 (W) 是同构的，记作 (V cong W)。

定理 4.5.2

数域 (mathbb F) 上任意一个 (n) 维向量空间都与 (mathbb F) 上的 (n) 维行（或列）向量空间 (mathbb F^n) 同构。

定理 4.5.3

• (phi(0) = 0, phi(-alpha) = - phi(alpha), alpha in W)
• (alpha_1, alpha_2, dots, alpha_m in V) 线性相关（无关）(Leftrightarrow) (phi(alpha_1), phi(alpha_2), dots, phi(alpha_m) in W) 线性相关（无关），特别地 (mathrm{dim}_{mathbb F} V < infty Leftrightarrow mathrm{dim}_{mathbb F} W < infty)
• (phi^{-1}: W o V) 也为同构

命题 4.5.4

向量空间的同构是一个等价关系。

推论 4.5.5

数域 (mathbb F) 上两个有限维向量空间同构的充要条件是它们的维数相同。

充分性：证明原来的基映射后可以直接成为新的基。

必要性：(V cong mathbb F^n cong W)

命题 4.5.6

设 (U, W) 是 (V) 的子空间且 (V = U oplus W) 则 (U cong V / W) 。