一个关于序列区间gcd的小trick

trick的来源

有一道题目是这样的：

对于一个由正整数组成的序列，Magical GCD 是指一个区间的长度乘以该区间内所有数字的最大公约数。给你一个序列，求出这个序列最大的 Magical GCD。
(nleq 10^5,a_i leq 10^{12})

暴力的做法是：从左往右枚举右端点(r)，再从(r)开始从大到小枚举左端点(l)，同时记录([l,r])的(gcd)，更新答案

这个暴力显然是(O(n^2))的，考虑优化这个暴力。

用到有一个极其有用的性质：

固定一个右端点(r)，那么设(g[l]=gcd(a_l,a_{l+1},a_{l+2},...,a_r))，所有(1leq lleq r)的(g[l])最多只有(logV)种取值，且相同的(g[l])是连续的，(V)是值域。

性质的证明是非常简单的，固定右端点(r)后，我们从(r)开始从大到小枚举(l)，那么(g[l])要么不变，要么变小，变小的话至少是除以(2)，因此经过(logV)次变小就变成了(1)，后面就都是(1)了。

根据这个性质的优化：

建立一个双向链表，一开始(i)的前驱是(i-1)，后继是(i+1)。还是从左往右枚举(r)，但是这次从左往右沿着双向链表枚举(l)，更新(g[l])（就是g[l]=gcd(g[l],a[r])）。如果(g[l]=g[pre[l]])，那么我们就从双向链表中删掉(l)。这样做就能保证任何时候(g[l])和(g[nxt[l]])是不同的，只要沿着双向链表枚举就能找到所有(g[l])相同的那(logV)段。

结合代码理解：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>

const int N = 100007;
typedef long long ll;

int T, n;

ll a[N], g[N];
int nx[N], pr[N];

ll gcd(ll x, ll y)
{
	return y ? gcd(y, x % y) : x;
}

void init()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	for (int i = 1; i <= n; i++) nx[i] = i + 1, pr[i] = i - 1, g[i] = a[i];
}

void solve()
{
	ll ans = 0;
	for (int r = 1; r <= n; r++)
		for (int l = 1; l <= r; l = nx[l])
		{
			g[l] = gcd(g[l], a[r]);
			if (g[l] * (r - l + 1) > ans)
				ans = g[l] * (r - l + 1);
			if (g[l] == g[pr[l]])
			{
				nx[pr[l]] = nx[l];
				pr[nx[l]] = pr[l];
			}
		}
	printf("%lld
", ans);
}

int main()
{
	scanf("%d", &T);
	while (T--) init(), solve();
	return 0;
}