莫比乌斯反演欧拉函数杜教筛大总结

莫比乌斯函数

定义

设(n=prod_{i=1}^{k} p_i^{c_i})，则(mu(n)=(-1)^k)，特别地(mu(1)=1)。

性质

最常用性质

(sum_{d|n}mu(d)=[n=1])

反演性质

(F(n)=sum_{d|n}f(d) Longleftrightarrow f(n)=sum_{d|n}F(d)mu(frac{n}{d}))

(F(n)=sum_{n|d}f(d) Longleftrightarrow f(n)=sum_{n|d}F(d)mu(frac{d}{n}))

常用性质

(sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=1]=sum_{d=1}^{n}mu(d)lfloorfrac{n}{d} floor lfloorfrac{n}{d} floor)

欧拉函数

定义

设(n=prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i})，有(phi(n)=nprod_{i=1}^{k}frac{p_i-1}{p_i})。

性质

最常用性质

(sum_{d|n}phi(d)=n)

零零散散的一些性质（没收集完）

(phi(ab)=frac{phi(a)phi(b)gcd(a,b)}{phi(gcd(a,b))})

与莫比乌斯函数的联系

$frac{phi(n)}{n}=sum_{d|n}frac{mu(d)}{d} Longleftrightarrow phi(n)=sum_{d|n}mu(d)frac{n}{d}=sum_{d|n}mu(frac{n}{d})d $

杜教筛

思路

狄利克雷卷积

两函数(f,g)的狄利克雷卷积((f*g))定义如下：

((f*g)(i)=sum_{d|i}f(d)g(frac{i}{d}))

函数前缀和

令(S(n)=sum_{i=1}^{n}f(i))

(sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\=sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}g(d)f(frac{i}{d})\=sum_{d=1}^{n}g(d)sum_{i=1}^{lfloor frac{n}{d} floor }f(i)\=sum_{d=1}^{n}g(d)S(lfloor frac{n}{d} floor ))

移项得：

(g(1)S(n)=sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-sum_{d=2}^{n}g(d)S(lfloor frac{n}{d} floor ))

于是可以递归求解。

莫比乌斯函数前缀和

令(f(i)=mu(i),g(i)=1)，有：

(sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\=sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}g(d)f(frac{i}{d})\=sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}mu(frac{i}{d})\=sum_{i=1}^{n}[i=1]\=1)

所以(S(n)=1-sum_{d=2}^{n}g(d)S(lfloor frac{n}{d} floor ))

欧拉函数前缀和

令(f(i)=phi(i),g(i)=1)，有：

(sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\=sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}g(d)f(frac{i}{d})\=sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}phi(frac{i}{d})\=sum_{i=1}^{n}i\=frac{n(n+1)}{2})

所以(S(n)=frac{n(n+1)}{2}-sum_{d=2}^{n}g(d)S(lfloor frac{n}{d} floor ))

其他一些函数的前缀和

若(f(i)=mu(i)*i)，则(g(i)=i)。

(sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\=sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}g(d)f(frac{i}{d})\=sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}d*frac{i}{d}*mu(frac{i}{d})\=sum_{i=1}^{n}isum_{d|i}mu(frac{i}{d})\=sum_{i=1}^{n}[i=1]\=1)

所以(S(n)=1 - sum_{d=2}^{n}g(d)S(lfloor frac{n}{d} floor ))

留个大坑先。。。。。