树的重心（模板）

代码定义：树的重心也叫树的质心。对于一棵树n个节点的无根树，找到一个点，使得把树变成以该点为根的有根树时，最大子树的结点数最小。换句话说，删除这个 ^[1]  点后最大连通块（一定是树）的结点数最小。

性质：

1. 树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的，如果有两个距离和，他们的距离和一样。
2. 把两棵树通过一条边相连，新的树的重心在原来两棵树重心的连线上。
3. 一棵树添加或者删除一个节点，树的重心最多只移动一条边的位置。
4. 一棵树最多有两个重心，且相邻。

算法分析：

和树的最大独立问题类似，先任选一个结点作为根节点，把无根树变成有根树，然后设d(i)表示以i为根的子树的结点的个数。不难发现d(i)=∑d(j)+1，j∈s（i）。s（i）为i结点的所有儿子结点的编号的集合。程序也十分简单：只需要DFS一次，在无根树有根数的同时计算即可，连记忆化都不需要——因为本来就没有重复计算。

那么，删除结点i后，最大的连通块有多少个呢？结点i的子树中最大有max{d（j）}个结点，i的“上方子树”中有n-d（i）个结点

代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=200005;
vector<int> tree[maxn];
int n,minNode,minBalance;
//minNode当前重心节点
//minBalance当前重心节点的最大子树节点个数 
int d[maxn];
//d[i]表示以i为根的子树节点个数 
void dfs(int u,int fa){
    d[u]=1; //节点本身 
    int maxSub=0,size=tree[u].size(); //maxSub为节点u的最大子树节点个数 
    for(int i=0;i<size;i++){
        int v=tree[u][i];
        if(v!=fa){
            dfs(v,u);
            d[u]+=d[v];
            maxSub=max(maxSub,d[v]);
        }
    }
    maxSub=max(maxSub,n-d[u]);
    if(maxSub<minBalance){
        minNode=u;
        minBalance=maxSub;
    }
}
int main(){
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++) tree[i].clear();
        memset(d,0,sizeof(d));
        for(int i=1;i<n;i++){
            int u,v;
            cin>>u>>v;
            tree[u].push_back(v);
            tree[v].push_back(u);
        }
        minNode=0; minBalance=0x3f3f3f3f;
        dfs(1,0);
        printf("%d %d
",minNode,minBalance);
    }
    return 0;
}