• ●BZOJ 1006 [HNOI2008]神奇的国度(弦图最小染色数)○ZOJ 1015 Fishing Net


    ●赘述题目

    给出一张弦图,求其最小染色数。

    ●题解

    网上的唯一“文献”:《弦图与区间图》(cdq),可以学习学习。(有的看不懂) 

    摘录几个解决改题所需的知识点:

    子图诱导子图(一定要弄清楚)

    子图:对于一个图G=(V,E) ,满足V'⊆V且E'⊆E的G’=(V',E')称为图G的子图

    诱导子图:对于一个图G=(V,E),满足V'⊆V且E'=(所有(u,v)|u⊆V',v⊆V')的G'=(V',E')称为图G诱导子图

    ●团

    若图G=(V,E)的一个子图G'=(V',E')是V'的完全图,则该子图G'称为一个团

    ●极大团

    若一个团G'不是其他任何团的子图,则该团为极大图

    ●最大团

    点数最多的团

    ●团数:

    最大团的点数

    ●色数:

    对图G进行染色,使得任何相邻的两点颜色不同,所需要的最少颜色数

    一个性质:对于一个图G,满足团数≤色数

    别人家的证明:因为团是完全图,一个n个点的完全图的色数为n,所以对于一个图的团数(极大团的点的个数)等于色数。

    ●弦:

    连接环中的不相邻的两点的边

    ~M(I~C6LW22C~9~~O0`TD8H

    ●弦图:一个无向图称为弦图当图中任意长度大于3的环都至少有一个弦

    (即一个无向图不存在长度大于3的环则称为弦图)

    一个性质:弦图的诱导子图也是弦图

    另一个性质:弦图中,团数==色数

    ●单纯点:

    对于一个点v,设n(v)表示与v相连的点集,若V'=v∪n(v)形成的诱导子图是一个团,则v是单纯点

    U$EZA9H17F(%4P67@0C{696

    ●完美消除序列

    一个点的序列(图的每个点出现一次):v1,v2,v3,...,vn,满足任意vi在{vi,vi+1,vi+2,...,vn}的诱导子图中是一个单纯点

    L$TX)5(~{78(ERZTCFAT734

    判断图G为弦图ZOJ 1015 Fishing Net

    MCS(最大势算法):

    ●用lab[ ]记录每个点的(与多少标记的点相邻)

    每次取出势最大的点(刚开始都为0),从后往前放入一个序列,并标记这个点为已标记,并更新与改点相连的点的势(+1),重复该操作,直到取完所有点。(用链表做到O(n(点数)+m(边数)))

    ●那么序列构造出来了,到底是不是完美消除序列呢(即是不是弦图)还需要check一下

    check(优化后的,O(n+m)):

    对于每个点vi,找出{vi,vi+1,vi+2,...,vn}中与它相连的点,并用vmin记录与它相连的点中在序列中位置最小的那个点,只需判断vmin是否和那些点相连,若没有连边,则不是完美消除序列,即不是弦图。

    如果对于每个vi都成立,则是完美消除序列,即是弦图。

    ZOJ 1015 代码(MCS判弦图):

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<iostream>
    #include<queue>
    using namespace std;
    struct edge{
        int to,next;
    }e[2000050];
    int head[1005],lab[1005],order[1005],g[1005][1005];
    int n,m,ent=1;
    void add(int u,int v)
    {
        e[ent]=(edge){v,head[u]};head[u]=ent++;
        e[ent]=(edge){u,head[v]};head[v]=ent++;
    }
    void msc()
    {
        bool vis[1005];
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        queue<int> link[1005];
        int best=0,u,v,cnt=n;
        for(int i=1;i<=n;i++) link[0].push(i),lab[i]=0;
        while(!link[best].empty()||best)
        {
            if(link[best].empty()){best--; continue;}
            u=link[best].front(); link[best].pop();
            if(vis[u]) continue;
            vis[u]=1; order[u]=cnt--;
            for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
            {
                v=e[i].to;
                if(vis[v]) continue;
                lab[v]++; if(lab[v]>best) best=lab[v];
                link[lab[v]].push(v);
            }
        }
    }
    bool check()
    {
        int p[1005],pnt,mi,ni;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            pnt=0;mi=0x3f3f3f3f;
            for(int j=head[i];j;j=e[j].next) 
            {
                if(order[e[j].to]<order[i]) continue;
                if(mi>order[e[j].to]) mi=order[e[j].to],ni=e[j].to;
                p[++pnt]=e[j].to; 
            }
            for(int j=1;j<=pnt;j++)
            {
                if(p[j]==ni) continue;
                if(!g[ni][p[j]]) return 0; 
            }
        }
        return 1;
    }
    void init()
    {
        memset(g,0,sizeof(g));
        memset(head,0,sizeof(head));
        ent=1;
    }
    int main()
    {
        while(scanf("%d%d",&n,&m)&&(n+m))
        {
            init();
            for(int i=1,a,b;i<=m;i++) scanf("%d%d",&a,&b),g[a][b]=g[b][a]=1,add(a,b);
            msc();
            if(check()) printf("Perfect
    
    ");
            else printf("Imperfect
    
    ");
        }
        return 0;
    }

    那么对于BZOJ 1006这个题,已经告诉了我们,题目输入一个弦图,于是我们只需要用MCS求出完美消除序列,然后求团数(最大团点数):

    因为在完美消除序列中的每个点vi,它在{vi,vi+1,vi+2,...,vn}形成的诱导子图中是单纯点,即我们找出在{vi,vi+1,vi+2,...,vn}中与vi相连的点,形成的点集V'=(那些点∪vi) 的诱导子图则是一个团,可以得出该团的点数,由此可以通过枚举vi找出团数(最大团点数)

    BZOJ 1006 代码(n+m)

    #include<queue>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<iostream>
    using namespace std;
    struct edge{
        int to,next;
    }e[2000005];
    int head[10005],rank[10005],sa[10005];
    int n,m,ent=1,ans;
    void add(int u,int v)
    {
        e[ent]=(edge){v,head[u]};head[u]=ent++;
        e[ent]=(edge){u,head[v]};head[v]=ent++;
    }
    void msc()
    {
        bool vis[10005]; int lab[10005];
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        queue<int> link[10005];
        int best=0,u,v,cnt=n;
        for(int i=1;i<=n;i++) link[0].push(i),lab[i]=0;
        while(!link[best].empty()||best)
        {
            if(link[best].empty()){best--; continue;}
            u=link[best].front(); link[best].pop();
            if(vis[u]) continue;
            vis[u]=1; rank[u]=cnt; sa[cnt]=u; cnt--;   
            for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
            {
                v=e[i].to;
                if(vis[v]) continue;
                lab[v]++; if(lab[v]>best) best=lab[v];
                link[lab[v]].push(v);
            }
        }
    }
    int main()
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1,a,b;i<=m;i++) scanf("%d%d",&a,&b),add(a,b);
        msc();
        for(int i=n,u,v,cnt;i>=1;i--)
        {
            u=sa[i]; cnt=1;
            for(int j=head[u];j;j=e[j].next)
            {
                v=e[j].to; if(rank[v]<i) continue;
                cnt++;
            }        
            ans=max(ans,cnt);
        }
        printf("%d",ans);
        return 0;
    }

    时间复杂度分析:以上面程序的main( )里的求团数为例:

    看似有两层循环,但我们来这么考虑:

    第一层枚举了n个点;

    两层循环全部结束后,每条边都被枚举了两次(2m)

    所以总的复杂度为O(n+m)

    ●注:自学了一点皮毛,如果文中有问题,欢迎指出,谢谢。

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