线性基在OI里是一种用来维护数列异或信息的一种数据结构。本质上他是线性代数的一些东西,反正我是完全不会的。
构造
维护一个数组LB[log maxn](Linear Basis，即线性基)。每次向线性基数组内插入一个新的数(x)的时候，设(x)的每一二进制位可以被表示为(x_i)，最高位为(x_k)，如果LB[k]没有存过别的数，则令LB[k] = x，否则，则让(x)异或上LB[k]，再往下找到新的(x)的最高位，如上做若干遍，直到要么(x)存进了某一个LB[p]，要么遍历完了所有的最高位还没存进去，那就不用存了，复杂度易证明为(O(log 值域))。
判断某个数是否存在于线性基或能被线性基里面的数表示的时候，就是把上面的存数的方法反过来，每次判断(x)的二进制下最高位，如果LB[k]不存在，则该数无法被表示，否则将(x)异或上LB[k]，然后再做一遍。如上做若干遍，直到发现了一个(x)的最高位(k)，而LB[k]里面没有值，或者遍历完了所有的(x)的最高位，那么说明可以被异或表示。
在查询整个数列的最大异或和的时候，从LB[log maxn]开始枚举，如果ans ^ LB[i] > ans则ans ^= LB[i]，否则ans不变。
最小异或值的话就简单很多。如果出现过某一个数被遍历完了没存进去，就说明这些数可以被组成线性基的这些数组成。（没存进去就是因为数被线性基里面的数层层异或完了，而线性基的数又可以用原数异或表达出来），而如果没有没存进去的，那么就是当前所出现的最小的数（因为每一次跳转操作，(x)的二进制最高位必定单调降低，所以不可能插入两个二进制最高位相同的数。而此时，线性基中最小值异或上其他数，必定会增大，所以它确实是异或最小值）。
感性证明
啊这……这谁会写啊，前面构造的时候一些怪异的东西写了一下不严谨伪证明，其他看起来都是极其显然正确的罢……
线性代数证明（待填坑）
实数线性基（待填坑）
例题：P3812 【模板】线性基
十分的裸……
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
namespace ztd{
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T> inline T read(T& t) {//fast read
t=0;short f=1;char ch=getchar();double d = 0.1;
while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-f;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9') t=t*10+ch-'0',ch=getchar();
if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
t*=f;
return t;
}
}
using namespace ztd;
const int maxn = 55;
ll n, m, a[maxn], ans;
ll xxj[70];
signed main(){
read(n);
for(int i = 1; i <= n; ++i){
read(a[i]);
for(int j = 51; j >= 0; --j){
if(a[i] >= (1ll << j)){
if(xxj[j]) a[i] ^= xxj[j];
else{
xxj[j] = a[i];
break;
}
}
}
}
ll ans = 0;
for(int i = 51; i >= 0; --i){
if((ans ^ xxj[i]) > ans){
ans ^= xxj[i];
}
}
cout << ans << '
';
return 0;
}
例题2：P4151 【WC2011】最大XOR和路径
可以很方便的用线性基和异或的性质维护。随便先找出一个点，从他开始dfs路径。路径长度无所谓。由于原题目中说了可以多次走同一个边，并且再加上异或的 x^x = 0这个优秀的性质，我们可以从dfs到的每一个点向外走判环，把环的贡献加上来。至于为什么这样是最优的，因为我们一条路径加上一些环，可以被看作另外一条路径加上另外一些环，总和不变。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
namespace ztd{
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T> inline T read(T& t) {//fast read
t=0;short f=1;char ch=getchar();double d = 0.1;
while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-f;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9') t=t*10+ch-'0',ch=getchar();
if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
t*=f;
return t;
}
}
using namespace ztd;
#define int long long
const int maxn = 50005;
const int maxm = 1e5+7;
ll n, m;
struct edge{ int y, gg; ll w; }e[maxm<<1];
int last[maxn], ecnt;
inline void addedge(int x, int y, ll w){
e[++ecnt] = {y,last[x],w};
last[x] = ecnt;
}
class LinearBasis{
private:
ll xxj[70];
public:
inline void add( int x){
for(int j = 62; j >= 0; --j){
if(x >= (1ll << j)){
if(xxj[j]) x ^= xxj[j];
else{
xxj[j] = x;
return;
}
}
}
}
inline ll query(int x){
ll ans = x;
for(int i = 62; i >= 0; --i){
if((ans ^ xxj[i]) > ans){
ans ^= xxj[i];
}
}
return ans;
}
}LB;
ll vis[maxn], back[maxn];
void dfs(int x, ll val){
back[x] = val, vis[x] = 1;
for(int i = last[x], y = e[i].y; i; i = e[i].gg, y = e[i].y){
if(!vis[y]) dfs(y, val^e[i].w);
else LB.add(val^e[i].w^back[y]);
}
}
signed main(){
read(n); read(m); ll xx, yy, ww;
for(int i = 1; i <= m; ++i){
read(xx); read(yy); read(ww);
addedge(xx,yy,ww); addedge(yy,xx,ww);
}
dfs(1,0);
cout << (LB.query(back[n])) << '
';
return 0;
}
最后再附一个模板链接：ZTL线性基