材料研究方法

编程是非常有意思的，可是作为材料人，学好材料才是比较重要的事情，下面记录一些知识点。

光学透镜的成像原理

光的折射

光在均匀介质中沿直线传播。 在不同介质中光的传播速度不同。 当光从一种介质传播到另一种介质中去时，在两介质的界面上光的传播方向会发生突然的变化，这种现象就是光的折射。

　　其中v（在均匀介质中的传播速度）越大，θ（入射角，一定是和法线之间的夹角）越大，n（折射率，速度=光速/折射率，所以折射率月小，v越大）越小， 他们之间有一个公式需要牢记。 

　　光的折射是光学透镜成像的基础。  

　

 

　凸透镜成像时有 1/L1 + 1/L2 = 1/f 。 其中L1（通常也用u来标识）和L2（通常也用v来标识）分别是物距和像距，f为焦距。

  根据上面这个公式可以看出凸透镜成像时， 物距和像距之间是有一定关系的， 比如当人看物体的时候， 物距可能会不断的发生变化，但是像距不怎么改变，人眼又是凸透镜，所以需要自动调节焦距，一旦人眼调节焦距的的能力减弱时，看东西就会发生模糊的状态，因为这时像距已经不能很好的控制了， 不能准确在视网膜上成像了。  

　　下面我们看看一些实例：

     

　　值得注意的是： 一般来说，正立的像都是虚像，倒立的像都是实像。 

• 不难理解，人眼在看东西时， 物距一般都是大于两倍焦距的， 所以成的像也都是倒立的缩小的实像。
• 而物距小于焦距时，也就是老年人拿着放大镜看报纸时，所成的像就是正立的放大的虚像。
• 而物镜在一倍焦距到两倍焦距之间时，形成的像是倒立放大的实像，如教室中幻灯片的放映就是这样。 

从以上的讨论中，我们可以得出下面两点结论或启示：

1. 实像和虚像的区别是什么？ --- 实像是可以被某些屏幕接受的，如人眼成的是倒立缩小的实像，这个实像被视网膜所接受到； 又如幻灯片成的是倒立放大的实像，可以被白板接收到； 但是放大镜放大的像我们只能看到，而不能接收到，所以说它是虚的。
2. 这里着重需要讨论的就是物距和焦距的关系。 因为在焦距一定的情况下， 物距和像距的关系是恒定的，所以我们只需要讨论物距或者像距其中之一与焦距的关系即可，这里我们讨论物距与焦距的关系。且在讨论时，是以1和2两个数字作为划分的，如物距小于一倍焦距、物距在一倍焦距到两倍焦距之间、物距大于两倍焦距。

　　

光的衍射

基本概念如下：

衍射（英语：diffraction），又称绕射，是指波遇到障碍物时偏离原来直线传播的物理现象，波在其传播路径上遇到障碍物时，都有可能发生这种现象。

举例： 由于衍射效应的存在，物点通过透镜成像时像点并不是一个理想的点（几何点），而是一个有一定尺寸的光斑， 光斑中间的亮度最大，四周被亮度逐渐减弱的的明暗相间的衍射环所包围，这个光斑就是艾里斑。 通常艾里斑是以第一暗环处的半径来衡量其尺寸的。

衍射和干涉的区别是什么呢？ 教科书上是这么说的：

光具有波动性，光波之间相互干涉即产生所谓的衍射现象。

即光的衍射现象依赖于光的干涉，这是非常重要的。而维基百科上是这么说的：

即需要注意相加和积分。

瑞利判据：

　　假设成像时出现了两个艾里斑，之前说到过他们的大小使用第一暗环的半径来衡量，设两者之间的距离为R，那么：

• 当R<R0时（R0是艾里斑的半径大小） --- 无法分辨。
• 当R=R0时 --- 两个艾里斑部分重叠，若仔细观察分析强度分布曲线，可以发现两个强度峰和低谷之间的相对强度差为19%， 这个强度差刚好可以被人们所察觉。
• 当R>R0时 --- 可以很容易地做出区分。

瑞利判据　--- 当两个艾里斑之间的间距等于第一暗环半径R0时，两斑之间存在的亮度差是人眼刚能分辨的极限值，因此R>=R0是能够分辨两个艾里斑的标准； 若两个艾里斑之间的间距R<R0，那么合成强度曲线间的强度差小于19%或只有一个强度峰出现，此时，两个成像点不可分辨。

光学中的像差

衍射效应使得一个物点的像在平面上扩大成为一个半径为R0的光斑，除此之外，由于透镜成像时受到物理条件的限制也会使成像物点扩展为圆斑，这就是像差。

即这里的像差不是一种特定的原因造成的现象。 像差是一个大的概念，是成像时出现差错、差别的现象，其中包含了很多具体的现象，如球差、像场弯曲、色差等等。

按照像差产生的原因可以将之分为两类： 

• 第一类是单色光成像时的像差，称为单色像差，如球差、像场弯曲和像散等。
• 第二类是多色光成像时由于介质折射率随光的波长不同而引起的像差，叫做色差。 

这里主要介绍球差、像场弯曲、色差。

球差

　

产生球差的原因如上图所示， 其中Z轴为透镜主轴，黑色线为透镜，红色线为像平面，黄线为单色光线。

球差产生的原因如图所示，位于透镜主轴z的一个物点p发出的单色光， 由于入射的孔径半角α不同，所以进入透镜之后，因折射倾向不同所以各光线并不会汇聚在同一个点上，而沿着Z轴形成前后不同的一系列焦点群。

 其中孔径半角大的入射光线离开主轴z距离较远，称为远轴光线，他们的折射倾向很大； 孔径半角小的入射光线则离主轴较近， 称为近轴光线，他们的折射倾向很小，因此，如果把图中的像平面沿着z轴左右移动，就可以得到一个最小的散焦圆斑， 这个最小散焦圆斑的半径用Rs来表示。 如果把最小散焦圆斑折算到物平面上去，则可以得到： rs = Rs/M

 其中rs的物理意义和衍射规定的分辨率r0相似，我们用rs的大小来衡量球差的大小。 显然rs变小，那么透镜的分辨率就有可能提高。 

应用：光学玻璃制成的凸透镜引起的球差可以使用相同材料的凹透镜，组成透镜组加以部分校正。

像场弯曲

　　 在透镜物平面上，物体AB上没一点发出的单色光束通过透镜折射后，每一个物点均得到一个像点，由于近轴光线和远轴光线的折射程度不同，因此，整个像平面不可能是一个平面。这就是像场弯曲。

色差

　　色差有两种类型，即轴向色差和垂轴色差。

　　

　　如上图所示的轴向色差，即由物点P发出的多色光束经过透镜之后，波长最短的紫光折射倾向最大，红光的折射倾向最小，因此各种颜色的光便汇聚在了主轴Z的不同位置上， 因此物点P在像平面上得到的不是一个像点，而是各色像群的汇聚。 如果把像平面顺着主轴左右移动，那么可以得到一个尺寸最小的散焦斑， 其半径用Rc来表示， 若把其半径Rc折算到物平面上，那么 rc = Rc/M。 

　　垂轴色差的原理类似。

在实际使用的过程中，显微镜的透镜（物镜或目镜）都是由一组透镜组成的， 位于最前沿的凸透镜担负这放大的作用，而后继的透镜组是为了消除各种像差而安置的，这些透镜就是所谓的校正透镜。

 透镜的分辨率

　　显微镜的分辨率是由物镜的分辨率来决定的，因为只有被物镜分辨出的结构细节才能被目镜进一步放大，因此，一个模糊的组织虽然经过目镜放大其图像仍然不能分辨。 

　　如前所述， 由于光学透镜成像时存在着像差和衍射效应，使得成像的物点不能成为理想的像点（几何点），而扩展成了各种散焦斑（散焦斑，顾名思义，所成像的焦点位置时分散的）。

　　如果散焦斑的尺寸接近于理想像点的大小，那么透镜的分辨率可以接近无限大。

　　但是事实上，光学透镜的缺陷只能部分得到校正而不能完全消除，所以透镜的分辨率会受限于各种缺陷形成的散焦斑的大小。

　　一旦透镜成像，那么各种最小散焦斑都是客观地重叠在像平面上，因此透镜的分辨率将受到这些散焦斑中尺寸最大斑点的影响。  

　例如： R0 Rs Rc 分别代表着衍射、球差和色差在像平面上形成的最小散焦斑的半径，其中如果R0的数值最大，那么透镜的分辨率应该是 r0 = R0/M。 我们可以通过增加孔径半角α和介质折射率或改用较短波长的光源来较少R0的数值，使得分辨率提高。 当R0的数值降低到比球差（或色差）的散焦斑半径Rs小时，继续采用这种办法就不能使得分辨率提高了，因为此时透镜的分辨率是由rs = Rs/M 来决定的，
只有采用继续减小Rs的方法才能使得透镜的分辨率进一步提高。

X射线的物理特性

X射线的产生极其性质

　　

　　通常使用上图所示的X射线管来产生X射线。 

阴极（又称灯丝）多用钨丝制成，通电加热后，就可以发射大量电子，阳极就是靶，一般都是由纯金属（Cu Cr V Fe）制成，正对着阴极，阳极表面经过了抛光，称为镜面。当在阴阳极之间加上直流高压时， 电子就从阴极以高速碰撞到阳极表面，其运动受阻后，电子的大部分动能转为热能，使得靶（阳极）温度升高， 另外约有1%左右的动能转化为了X射线能，这样就可以从阳极镜面向外发射X射线。 并通过玻（金属旁）玻璃窗口射到X射线管外。

　　

 X射线的本质

　　X射线和我们平时看到的光差不多，都是电磁波，区别在于X射线的波长短，只有0.01~10nm， 而一般可见光的波长约为400~700nm。显然波长越短的能力越强。 因此，X射线特点： 它是肉眼看不到的，具有很强的穿透能力。 根据X射线的波长长短，还可以分为“硬”X射线（波长较短）和“软”X射线（波长较长）。

　　波长和能量的关系如下所示：

　另外，E 还等于 hv（miu）。 因为C = λv。  

X射线的性质

• X射线的折射系数接近于1， 所以当它穿过不同的媒质时， 几乎毫不偏折的直线传播。
• X射线的波长短（0.1~10nm， 而可见光的为400~700nm），所以肉眼看不到。
• X射线的穿透能力很强。 可以穿透金属等，对零件内部缺陷（如气孔、夹杂、裂纹等）进行无损探伤。
• X射线对有机物质（包括人的肉体）都是有害的，可以破坏杀死生物组织细胞作用。 因此与X射线接触时要有一定的防护措施，如加上铅制品保护等。

X射线谱

　　当我们采用适当的方法去测量由X射线管发出的波长及其相对强度的时候，会把它们标注在“强度-波长”坐标上，便可以得到X射线强度随着波长λ而变化的曲线，即X射线谱。

　　值得注意的是： 从上图中可以看出，整个谱线呈现两种曲线分布特征，其中丘包状的为连续谱，而竖直尖峰为特征普，它们对应着两种X射线辐射的物理过程。

一、连续谱

　　丘包状的连续谱是大量的高速运动的电子与靶材碰撞时而减速，不同的能量损失转化为不同波长的X射线，并按照统计规律分布。　　

 　　不同管压下的连续谱的短波端都有一个突然截止的极限波长值λ0称为短波限（对应关系）。 而连续谱顶部所对应的波长值，大约位于1.5λ0处。  

 　　问题：为什么具有短波限？　　

　　用量子论很容易解释，即如果在外加电压U作用下，击靶时电子的最大动能是eU， 电子质量是m， 若电子在一次碰撞中将全部能量转化为一个光量子，这个具有最高能量的光量子的波长就是λ0。

eU = hvmax = hc/λ0 = 1/2 mv2

　　其中，hv的v是频率，而1/2mv2中的v是速度。 如果U用kv作为单位，拉姆达用nm表示，将光速c、普朗克常量h、电子电荷e值带入即可得到：

 λ0 = K/U 

 　　其中，K = 1.24nm * kV 

　　这就解释了为什么具有短波限

　　但是作这样能量交换的击靶电子仅仅占一小部分，其他大量的电子在于阳极原子做复杂的碰撞中， 辐射出大于λ0的其他各种波长的X射线连续谱。

 　　

 　　故：

• 连续谱短波限只和管压有关。当固定管压、增加管流或者增大阳极靶材原子序数时，λ0不变。仅仅使得各波长X射线强度增高。
• 当加大管压时， 连续谱各波长强度都响应提高，最高强度所对应的波长和短波限λ0值都向短波方向移动。 

 　　

　　另外， 连续谱强度分布曲线下所包围的面积与（在一定实验条件下）单位时间所发射的连续X射线总强度成正比。 根据实验规律，我们可以得知这个总强度 I连 值为：

I连 = α i Z U2

 　式子中，α 值约为(1.1~1.4)*10^（-9）

　i为管电流

　Z为原子序数；

　U为管电压

　根据上式，可以推算出X射线管发射连续X射线的效率如下：

连续X射线总强度/X射线管功率=αiZU2/iU = αZU

　所以为了效率更高，就需要选用重金属靶X射线管并且使用60~80kV的高压工作。 就是这个道理。

二、 特征（标识）X射线谱

　

　　举例： 当钼阳极X射线管压超过20kv时，在某些特定波长位置上，出现强度很高、非常狭窄的谱线叠加在连续谱强度分布曲线上。 改变管流、管压，这些谱线都只改变强度，而波长固定不变。 这就是特征X射线辐射过程所产生的特征X射线谱，或称为标识X射线谱。

　　特征X射线谱的产生和阳极物质的原子结构有关。 物质的原子结构是最中间有一个原子核，往外走，依次是K、M、L。。。 并且越靠近原子核的电子层能量越低（能量高的、有本事的都跑了，所以在最外层）。

　　原理：高速运动的电子（从阴极发射而来），由于其能量很高，直接达到了原子内部，因而有可能直接把最靠近原子核的K层的一个电子给打了出去，这时原子处于K激发态。但是内层更稳定啊，所以这时L层或M层的电子就会来补位。

• 如果电子是由L层的来补充，那么电子从L层跃迁到K层时，原子处于L激发态，其能量降低到 Wl = hv_L. 那么现在这个原子的能量总体是降低的，降低的能量就会以X射线的形式发射出来。

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　上述原理解释完毕　。。

　但是： 能量为什么会降低，又降低了多少呢？

　　首先，如果阴极发射来的电子要将K层电子打出去，那么相当于原子需要吸收一定的能量来使得K层电子逃逸，这个能量为Wk= hvk。 

　　其次，要从L层到K层，那么原子处于L激发态，hvl。？？？

　　所以 能量差为Wk - Wl = hvk - hvl 。 这个能量发出的X射线就是Kα射线， 如果不是L层，而是M层来补，那就会hvk - hvm，最终发射出来的射线就是K(beita)射线。 这两者是最常用的。 

　　所以说， 这样就可以定性的讨论出特征X射线的波长是固定的，而且每一个元素都有自己的特征X射线。

　　所以：原子内层电子造成空位是产生特征辐射的前提。  而想要击出靶材原子内层电子，比如K层，由阴极射来的电子的动能必须大于K层电子与原子核的结合能Ek，或K层电子的逸出功Wk，即 eUk = -Ek = Wk 其中，我们把Uk叫做阴极电子击出靶材原子所需的临界激发电压。  这就说明了为什么某种靶材的X射线管必须当管压达到一定的值之后，才能产生特征X射线的原因。    

　　

　　莫塞来在1914年发现了这样的一条规律：  不同靶材的同名特征谱线，其波长随着靶材的原子序数Z的增加而变短，并给出了如下公式。 书67页。

　　　因此可以得出， 如果希望得到波长短的特征射线，就要用原子序数比较大的物质做阳极。  

　　　且同一物质的特征X射线的波长与管电压无关，但是其强度和管电压有关：

I标 = K3i(U - Uk)n

　　　为了提高特征射线的强度可以采用较高的管电压，但同时也提高连续X射线的强度使其背底提高。 适宜的管电压选用激发态的3~5倍，这时特征射线和连续射线的强度比最大，峰背比最高，对于利用特征曲线最为有利。

　　

X射线与物质的相互作用

　　当X射线穿过物质时，并不是所有的都能穿过去，如一部分被衰减，一部分穿透，衰减的大部分为真吸收，余下的改变方向被散射了。 下面分为X射线的散射和X射线的吸收来作讲解。

　　

X射线的散射 --- 相干散射

　　什么是相干散射？ 

　X射线光子和受原子核束缚很紧的电子（如原子内层电子）相碰撞之后弹射，光子的方向改变了，但是能量几乎没有损失，于是产生了波长不变的散射线。 这就是相干散射

　　之所以说是相干散射，是因为在入射X射线的作用下都产生这种散射，于是在空间中形成了可以满足波的相互干涉条件的多元波，故称这种散射为相干散射。 

　　那么什么是相互干涉的条件呢？ 如下所示：

　说的很明确，频率相同。 而X射线散射光子正好满足这个条件。

X射线的散射 --- 非相干散射

　　即当X射线光子与原子中受束缚力弱的电子发生了碰撞后，电子被撞离原子并且带走光子的一部分能量成了反冲电子。 因能量损失而波长变长的光子也被撞偏了一个2θ角度称为散射光子。 散射光子和反冲电子的能量之和等于入射光子的能量。 根据能量和动量守恒定律，可以求得散射束的波长增大值：

Δλ =  λ’ -  λ0 = 0.00243（1 - cos2θ） 

由于这种散射效应是由康普顿和我国物理学家吴有训首先发现的，所以称为康-吴效应， 称这种散射为康普顿散射或者是量子散射。

散布于各个方向的量子散射波不仅波长不同，而且相位和入射波的相位也不存在确定性的关系，所以不能互相干涉，所以称为非相干散射。  注意： 入射束波长越短、 被照物质元素越轻，康普顿效应越显著。

X射线的真吸收 --- 光电效应与荧光（二次特征）辐射

　　当入射X射线光量子的能量足够大时，同样可以将原子内层电子击出。光子击出电子产生了光电效应。 被击出的电子称为光电子。

　　（被打掉了内层电子的受激）原子将随之发生如前所述外层电子向内层跃迁的过程，称由X射线激发产生的特征辐射为二次特征辐射。 二次特征辐射属于光致发光的荧光现象，所以又称为荧光辐射。

注意： 这里和前面的特征X射线谱不同，这里是因为X射线本身又激发出了X射线，而之前说的是由阴极发射的电子激发的X射线。

　　

X射线的真吸收 --- 俄歇效应

　如果原子K层电子被击出，L层电子向K层跃迁， 其能量差（Ek - El）可能不是以一个K系X射线光量子的形式释放，而是被包括空位层在内的临近电子（或较外层电子）所吸收， 使这个电子受激发而逃出原子，这就是俄歇效应。

• 　实验表明： 轻元素俄歇效应发射几率比荧光X射线发射几率要大，所以轻元素的俄歇效应要比重元素强烈。

　　我们把由于光电效应、俄歇效应和热效应而消耗的那部分入射X射线能量称为物质对X射线的真吸收。

X射线的衰减规律

一、 衰减规律和线吸收系数

　　实验表明： 当一束单色X射线透过一层均匀介质时， 其强度将随着穿透深度的增加按指数规律减弱，即：

　　I = I₀ e ^(-u_lt)

　　其中I0是入射束的强度， I是透射束的强度，t是物质的厚度，ul是线吸收系数。 I/I0是透射系数。

二、质量吸收系数

　　　为了避开线吸收系数随着吸收体物理状态的不同而改变的困难， 可以使用ul/p来代替ul，p为吸收物质密度，这样，就成了：

I = I₀ e ^(-u_mpt)

　　um = ul/p 称为质量吸收系数，表示单位质量物质对X射线的吸收程度。 对波长一定的X射线和一定的物质来说，Um为一个定值，不随吸收体物理状态的改变而改变。

X射线的衍射原理(重要)

倒易点阵简介

我们知道： 空间点阵共有7大晶系，14种类型。 可以使用[uvw]来表示空间点阵中的某一晶向，用（hkl）表示空间点阵中的某一晶面族的晶面。这样的点阵称为正点阵。（补： 如果直接表示一个面是非常麻烦的，所以我们使用垂直于该面的法线的方向来标识这个面，用（）来包含，因为面一般是圆的，而线是直的，所以使用[]来标识线）。

如果从正点阵的原点出发， 向（hkl）晶面做垂线， 即（hkl）的法线，记这个发现的向量为ON。 在ON上取一点Phkl， 使得OPhkl的长度和（hkl）的面间距成反比，那么Phkl就是倒易点， 所有正点阵晶面的倒易点组成了倒易点阵。 

从原点到Phkl点的矢量g_hkl即为倒易矢量，其大小是： g_{hkl =} k/ d_hkl                     (其中，K是比例常数，可令其等于1或X射线的波长) d是面间距

下面介绍的是倒易矢量的基本性质：

　　背景：设有一正空间点阵，其基本平移矢量为a、b、c，这些矢量都是单胞的棱，并分别具有长度a、b、c。 由基本平移矢量向三个方向平移重复就可以得到整个空间点阵。 

　　现在针对这一点阵以特定的方法来定义其倒易点阵： 令倒易点阵晶胞的基矢（基本平移矢量）为a*、b*、c*， 并令倒易轴 c* ⊥ a 和b,   a* ⊥ b和c ,   b* ⊥  a和c 。

　　那么正倒点阵基本平移矢量之间的关系是：

　　　　a* = b X c / V ;

　　　　b* = c X a / V ;

　　　　c* = a X b / V ;

　　其中V是单胞的体积。 即有： V = a(bXc) = b(aXc) = c(aXb)

　　不难得出： a* 点乘 b = a* 点乘 c = b* 点乘 a = b* 点乘 c = c* 点乘 a = c* 点乘 b = 0

　　而相同文字的倒易矢量与正矢量的数量积为1， 即： c* 点乘 c  = a* 点乘 a  = b* 点乘 b = 1

　　可以看出： 如果正点阵的晶轴相互垂直，那么倒易点阵也将垂直且平行晶轴，如立方和正方晶系，其他的晶系没有这个关系。

 　 通过上面的介绍可以知道： 倒易矢量 g hkl 的方向可以表征正点阵(hkl) 晶面的发现方向，而g hkl的长度为(hkl)晶面间距的倒数。

　　倒易点阵的好处在于使得晶体学中的问题的解决都变的简易，例如单胞体积、晶面间距、晶面夹角的计算以及晶带定理的推导等。 这里做一个简介 。

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晶带和晶带轴

　　在晶体中，如果若干个晶面同时平行于某一轴向时， 则这些面属于同一晶带，  而这个轴向就称为晶带轴。

　　若晶带轴的方向为[uvw]， 晶带中某晶面的指数为(hkl)，则(hkl)的倒易矢量g必定垂直于[uvw]。 将晶带轴表达为晶体点阵中的一个矢量，而将g表达为倒易点阵中的一个矢量，则有：

　　　　晶带轴矢量 = ua + vb +wc

　　　　g hkl = ha* + kb* + lc*

　　　　....

　　　　....

　　　　可知：

　　　　　　　　hu + kv + lw = 0

　　　　这就是晶带定理。 它可以作为晶面和晶向是否平行的判据。 同样也可以用来判别某个晶面是否属于某一晶带。 

　注： 当某晶带中两个晶面的指数已知时， 则对应倒易矢量的矢积必然平行于晶带轴矢量。（注意右手法则的使用） 我们可以通过联立方程来求解晶带轴的指数，但是为了方便，一般采用交叉法求解。

　　　　说了这么多，其实就是在说 我们可以通过交叉法求解同属于一个晶带的两个晶面的晶带轴。 　　

 　　如： 两个晶面的指数分别为： （h1k1l1）和（h2k2l2），那么可以得到相应的晶带轴为： 

　　

　　方法： 即上面重复写 一个向量， 下面也重复写一个向量，然后最左边和最右边的共4个值直接不要， 中间的四个四个的分别做 行列式的运算，依次得到了uvw的值。 例如： u = k1l2 - k2l1

 

布拉格定律（布拉格方程是衍射中最重要也是最基本的方程）

　　X射线在和晶体中束缚较紧的电子相遇时，电子会发生受迫振动并发射与X射线波长相同的相干散射波， 这些波相互干涉，使得在某些方向获得加强，另外一些方向则被削弱。 电子散射波干涉的总结果被称为衍射。

布拉格方程的导出(布拉格方程一定是和X射线一起讨论的)

　　一束平行的单色的X射线，以theda角照射在原子面AA上，如果入射线在LL1同相位(即相位差为0)，那么面上的原子M1和M的散射线中， 处于反射先位置的MN和N1M1在到达NN1时为同光程。 这说明同一晶面上的原子的散射线，在原子面的反射线方向上可以是互相加强的。 X射线不仅可以照射到晶体表面，还可以照射到晶体内一系列平行的原子面。如果相邻两个晶面的反射线的相位差为2PI的整数倍，那么所有平行晶面的反射线可一致加强， 从而在该方向上获得衍射。

　　2dsinθ  = n λ

 这就是著名的布拉格方程。其中的θ是掠射角或布拉格角。 入射线和衍射线之间的夹角为2θ， 称为衍射角。 n为反射的级， d为物体的厚度。 

　　布拉格方程的简单理解：

其实布拉格方程的推导是非常简单的，即 入射-反射线 和 入射-进入-反射-出线 的波程差为 2dsinthita ， 而如果希望两者得到加强，那么就要是波长的整数倍，于是可得布拉格方程。 

布拉格方程就是解释衍射问题的，而衍射是干涉的总结过， 而如果发生干涉就要满足布拉格条件，所以布拉格方程也就是衍射的必要条件。

 当振动方向相同、波长相同的两列波叠加时， 将造成某些固定区域的加强或减弱，称为波的干涉。 当一系列的平行波叠加时， 也可以发生干涉， 其加强或减弱的必要条件是这些波的波程差（或相位差）为波长的整数倍（相当于相位差为2PI的整数倍。）

波程差： 波程差是两列波从波源传播到某一质点的路程之差。 

在波的干涉中，当两波源的相位差为0时，若某质点的波程差为整数倍的波长，那么该质点为振动被加强的点 若某质点波程差为n + 1/2波长, （不是整数）， 那么该质点是振动被减弱的点。 

在波的干涉中，当两波源的相位差为PI时，若某质点的波程差为n + 1/2倍的波长，那么该质点为振动被加强的点 若某质点波程差为整数倍波长, （不是整数）， 那么该质点是振动被减弱的点。

 　

光程： 光程是一个折合量， 可以理解为在相同的时间内光线在真空中传播的距离。 

　　　 在传播时间相同或者相位改变相同的条件下， 把光在介质中传播的路程折合为光在真空中传播的相应路程。 

　　　 在数值上， 光程等于介质折射率乘以光在介质中传播的路程。

布拉格方程的讨论

　　值得注意的是，之前我们再推导布拉格方程时，是以反射为基础的，但是X射线的反射和普通的镜面反射是不同的，对于镜子而言，在任何的角度下都可以发生反射，但是对于X射线而言， 只有再满足布拉格条件的相应的θ角的 情况下才能发生反射。 　因此，我们称这种有选择的反射为选择反射。 在布拉格方程中，n为反射的级。 

　　在布拉格方程中，共联系了四个量， 晶面间距d、掠射角theta、 反射级数n和X射线的波长λ。 当知道了其中的三个量就可以求出另外一个量。  但是在不同的场合下， 某个量可能表现为常量或者变量，比如在劳埃法中， 波长λ是变量， 间距为d的晶面与入射线所在的角度theta是常量。 在粉末法中， λ是常量，而某种晶面的theta角确实变量。 

　　

1. 反射级数

　　公式中的n就是反射级数。

由相邻的两个平行晶面反射出的X射线束， 其波程差用波长去度量所得的整份数在数值上就等于n。

 　假若X射线照射到晶体的（100），而且刚好可以发生二级反射， 则相应的布拉格方程为  2d100sin（theta） = 2λ。  设想在每两个（100）中间均插入一个原子分布和它完全相同的面。 此时面族中最近原点的晶面在X轴上截距已经变成了1/2， 故面族的指数可以写成（200）， 又因为间距变成了原来的一半， 所以相邻晶面反射线的程差就只有一个波长。于是这种情况相当于（200）发生了一级反射，其布拉格方程可以写为  2d200sin（theta） = λ。  而d200的厚度是d100厚度的两倍，所以又可以写成： 2 (d100/2)sin(theta) = λ， 即和上面的黄色式子相比，相当于将2移到了左边。 也就是说: 可以将（100）的二级反射看成是（200）的一级反射。 

　更一般的说法是：

把（hkl）的n级反射看做n(hkl)的一级反射。 

 即写成 2dsin(theta) = λ，即始终可以认为反射级数永远等于1， 因为反射级数n实际上已经包含在了d之中， 也就是说， （hkl）是n级反射， 可以看成是来自某种虚拟的晶面的一级反射。 

　　

2. 干涉面指数

　　　　点到平面的距离公式如下（后面需要用到）：

 晶面(hkl)的n级反射面n(hkl)，用符号（HKL）表示，显然， H=nh, K=nk,L=nl。 （HKL）称为反射面或干涉面。而（hkl）是实际存在的面， （HKL）只是为了简化问题而引入的虚拟晶面。 HKL这三个干涉面的数值称为干涉指数。显然干涉指数是有最大公约数n的。 如果n=1， 那么干涉指数就成了晶面指数。 

对于立方晶系， 晶面间距d（hkl）和晶面指数的关系是 ： d(hkl) = a / (根号下 (h方 + k方 + l方))。 干涉面间距d（HKL）与干涉指数的关系类似， 即d(HKL)=a/(根号下（H方+K方+L方）)。 在实际使用时，我们一般用的都是后者， 即干涉面间距。

3. 掠射角

　　掠射角（theta）是入射线或反射线与晶面的夹角，一般可以用来表征衍射的方向。

 　 通过公式 sin(theta) = λ/(2d)， 可以看出， 如果λ一定，那么d相同的晶面必然在theta也相同的情况下才能同时获得反射。  另外， 如果λ一定，那么d减小，theta就一定要增大，说明：间距小的晶面，其掠射角必须是大的，否则他们的反射线就无法加强。　在粉末法中，这个概念非常的重要。

４．　衍射极限条件

　　当ｄ一定时，　λ减小，　ｎ可增大。　说明对于同一种晶面，如果采用短波Ｘ射线照射时，　可以获得较多级数的反射， 因为λ小，那么等式的左边也要小， 等式左边小好办，让d处于不同的级数，可以越来越小，但是sin(theta)也要满足条件。（如此：　我们就可以从多个角度去照射，都能得到衍射，　只是不同的角度，ｄ是不同的，但是如果使用长波Ｘ射线照射时，　所能发生衍射的掠射角要少的多，因为必须要让d足够大，才能满足条件， 所以这时的d就不能太小了）

　　另外，在晶体中，干涉面的化取是无限的， 但是并不是所有的干涉面都可以参与衍射，因为　dsin(theta)=λ/2， 或者d >= λ/2，  此表达式说明： 只有间距大于或等于X射线半波长的那些干涉面才能参与反射。 

很明显， 当采用短波X射线照射时， 能参与反射的干涉面将会增多。

 　　

　　

（补充:） --- 衍射角： 2（theta） ， 什么是衍射角？ 衍射角是入射方向和衍射方向的夹角， 实际上也就是入射和反射反向的夹角， 这里的夹角不是中间的，而是互补的角，作图很容易得到，衍射角为2（theta）

厄瓦尔德图解及其应用

　　根据布拉格方程，我们可以做一个简单的变形（书81页），就可以得到一个可以用来做圆的式子。 其中，以1/λ为半径做圆，然后以直径为斜边的内接三角形都是直角三角形。 接着， 令X射线沿着直径AO'的方向入射，取OB为1/d， AO和AB的夹角为（theta）， 于是可以得知，这样的三角形式满足布拉格方程的。 2theta是衍射角。  任何一个从O触发的矢量只要他的端点触及圆周，就可以发生衍射。  而在三位空间中，矢量的端点可以触及球面，那可以得知，所有的X射线沿着球的直径入射， 那么球面上的所有的点都满足布拉格条件， 从球心作某点的连线就是衍射方向。 正因为此，球面上的所有的点都满足布拉格条件，所以这个球就被称为反射球， 又称厄瓦尔德球。

　　重要概念： 可知1/d(hkl) 所在的矢量就是g矢量，即为倒易矢量， 而倒易矢量的终点B就是倒易点，倒易点的空间分布就是倒易点阵， 各个倒易点的起始点就是倒易点阵原点（显然只有这一个， 原点只有一个， 而倒易点分布在整个圆上，或者整个球上）。

　  

劳埃法

　　这是最早的X射线分析方法，它用垂直于入射线的平底片记录衍射线而得到劳埃斑点（？）。  书上的9-8图用于单晶体取向的测定和晶体对称性的研究（这个在14章中讲述，只是说明了劳埃法的应用场景，而不需要掌握，即图9-8不需要掌握）。

　　劳埃法的原理： 采用连续X射线照射不动的单晶体。    注意： 不动是关键词　　

　　这里的连续是说，X射线在照射时，其波长范围并不是一个特定的值，而是在一定范围内变化的， 即连续谱的波长有一个范围，从λ0 （短波限）到λm。 

　　图9-9中是零层倒易点阵以及两个极限波长反射球的截面。

（个人理解： 讲道理这里的倒易点阵应该是无限密的，这里为什么这么宽松呢？ ）

  显然，倒易点阵可以理解为没有间距的点阵，即每一个倒易点都是和周边的倒易点紧密相连的，但是书上画的倒易点阵确实离散的，究其原因，显然，我们不可能在书上画成密密麻麻的点阵，而是选取一些特殊的点作为倒易点阵来研究（如书中选取的整数点阵）， 这样的研究才是简单的。 并且没有失去本质。 

　　大球以B为中心， 其半径等于λ0的倒数（λ0就是短波限）， 而小球以A为中心， 其半径为λm的倒数，在这两个球之间，还有无数个以A到B之间的为圆心的球，不一一画出，半径显然就是从1/λ0到1/λm， 不难理解，凡是落在这两个球面之间的区域的倒易节点， 均满足布拉格条件， 他们将与对应某一波长的反射球面相交而获得衍射。  如其中的120倒易节点， 其所在的球的球心C到该点的方向就是衍射方向(该方向和入射方向的夹角)。  其它的类似。 

总结： 实际上劳埃法并没有干什么事情，它的建立是在厄瓦尔德球的基础之上的， 解决的问题是 连续X射线照射不动的单晶体时如何获得衍射角的问题。 除此之外，无他。

周转晶体法（不是很理解）

周转晶体法的原理是： 使用单色X射线照射转动的单晶体， 并使用一张以旋转轴为轴的圆筒形底片来记录。 书84页  图9-10

 注意： 这里的关键词是单色X射线，这意味着它和劳埃法不同， 因为劳埃法是连续X射线； 转动是关键词，如果也不转动，它研究什么呢？

　　晶体绕晶轴旋转相当于其倒易点阵围绕过O点并与反射球相切的一根轴转动，于是，某些节点将瞬时的通过反射球面。 处在与旋转轴垂直的同一个平面上的界限，与反射球面也将相较于同一水平面的圆周上。 因此，所有衍射光束矢量S/λ必定与反射球面相交于同一水平面的圆周上，也就是衍射光束必定位于同一个圆锥面上，这样，层线的形成也就成了十分自然的事情。  

　　为什么会分层？  

　　书上说的比较迷糊，但是理解起来书上图的形成原因还是不难的：   因为我们知道 dsin(theta) = λ，其中的d是包含了n之后的结果，讲道理，初始的d是一个定值，然后根据不同的n，那么d的值是离散的，至少在n值比较小的时候表现出来是这样，如果n比较大，那么可能就会越来越接近了，书上的例子中λ是固定的（单色X射线）， 所以说d的离散就导致了theta的离散，那么分层就不难理解了。也就是说，并不可能是一个完整的球，只是所有的倒易节点都在这个球上而已。

　　我们知道分层不难理解，可是，为什么要旋转起来呢？ 如果不旋转，应该也可以得到啊 ? 意义何在？ 

　　让晶体旋转的意义何在？

　　这个要看书上的82页的图，要理解这个平面， 而不是一个球，这一点非常重要，因为并不是说在这一层上，你可以得到密密麻麻的一个圆，因为和平面状态下的相比一旦有一点偏离，就有可能不满足布拉格条件，所以我认为书上的82页中提及厄瓦尔德球的时候说是球上所有的嗲你都满足布拉格条件的论断是错误的 。 

　　但是只要让晶体转起来，那么就有可能保证完全满足条件而达到书上的状态， 书上9-12显然是外面的圆筒形底片伸开之后的效果，不难理解。

粉末法（有时间再看）

　　　采用单色X射线照射多晶试样。  多晶体就是数量众多的单晶或微晶的取向混乱的集合体。   

　　

X射线的衍射强度

　　

残余应力的测定

 残余应力是一种内应力。 内应力是指产生应力的各种因素不复存在时， 由于形变、体积变化不均匀而存留在构建内部并自身保持平衡的应力。

应力的分类一般是下面三种：

• 第一类内应力在较大的材料区域（很多晶粒范围）内几乎是均匀的。
• 第二类内应力在材料的较小范围内（一个晶粒或晶粒内的区域）近乎均匀。
• 第三类内应力在非常小的材料区域（几个原子间距）也是不均匀的。 　　

我国文献中习惯把第一类内应力称为“残余应力”， 把第二类内应力称为“微观应力”或“显微应力”， 把第三类应力称为“超微观应力”或“超显微应力”。

显然， 第一类应力大于第二类应力大于第三类应力。

 重要： 残余应力是一种弹性应力，它与材料中局部区域存在的 残余弹性应变相联系， 所以残余应力总是材料中发生了不均匀的弹塑性变形的结果。而造成材料不均匀弹塑性变形的原因有：

• 冷、热变形时沿截面塑性变形不均匀。
• 零件加热、冷却时，体积内温度分布不均匀；
• 加热、冷却时， 零件截面内相变过程不均匀。

残余应力与构件的疲劳强度、耐应力腐蚀能力和尺寸稳定性有关。 有时，残余应力是有害的，会造成稳定性下降，应力腐蚀等； 而有时，残余应力是有利的，会提高疲劳寿命等等。 所以对残余应力的检测至关重要。

• 　　方法一： 使用应力松弛法。 即使用钻孔、开槽、剥层等方法使应力松弛，然后利用电阻应变片测量变形以计算残余应力。但是这是一种破坏性的测试。
•      方法二： 无损法。 即使用超声、磁性、中子衍射、X射线衍射等方法。 这种方法快速、准确、可靠、能测量小区域的应力，还可以区分出三种不同类别的应力。 所以本章主要介绍X射线测量应力的方法。 

残余应力的测定原理

X射线不是直接测量应力， 而是先测量材料的“晶格应变”， 再借助材料的弹性特征参量确定应力。 

　　而通过X射线，我们可以测得空间某方位的应变，所以只要确定了残余应力和空间某方位的应变之间的关系就可以利用后者得到前者了。 

　　且假定是平面应力状态， 即垂直于纸面的应力为0（非常小，可以忽略的情况下），这种平面应力假定是合理的。 

　　最终我们可以得到 σ_φ =KM  ，

　　其中K为应力常数， 它决定于被测材料的弹性性质（弹性模量E、posongbi u）以及所选衍射面的衍射角。 不能使用机械方法测定的多晶平均弹性常数计算K值， 而需要使用无残余应力试样加上已知外应力的方法测算。  

　　而M是。。。。直线的斜率， 由于K值是负值，所以M>0时，应力为负值,为压应力， 当M<0时， 应力为正，即拉应力。  如果说。。。。关系失去线性，那么就是说材料的状态偏离推导应力公式的假定条件，  这样，我们就需要使用其他特殊方法来测定M。 

　　所以，可知，残余应力的测定原理就是找出应力和应变之间的关系即 ... = KM。 然后只要可以测出KM， 就可以完成任务。

 

残余应力的测定方法

同倾法

　　特点是测量方向平面和扫描平面重合。 

侧倾法

　　特点是测量方向平面和扫描平面垂直。

　　优点： 可以测量复杂形状工作的表面参与应力、可利用较低角度衍射线进行应力测定、测量精度高。 

定峰法

　　

应力常数K的确定

　　

透射电子显微镜

　　透射电子显微镜和光学显微镜的区别主要在下面几个方面：

• 透射电子显微镜的照明光源是电子束，光学显微镜的照明光源是可见光。
• 电子束是使用电磁透镜来聚焦的，而可见光是使用玻璃透镜来聚焦。
• 透射电镜的物镜和投影镜（相当于目镜）之间有一个中间镜， 中间镜的引入不仅仅可以调节放大倍数，而且可以进行电子衍射操作。
• 可见光形成的像可以在毛玻璃或者白色屏幕上显示出来， 而电子束形成的像只能在荧光屏上显示出来。

　　综上所述： 照明光源和透镜的性质不同是电子显微分析和光学显微镜分析存在差别的根本所在。 

　　电子显微镜的电子光学问题

电子射线束的特性

电子波的波长

　　电子射线是光源， 和可见光一样，具有波粒二象性， 于是电子波的波长取决于电子运动的速度和质量。 即λ = h /(mv)。 而速度v和加速电压U之间的关系为  0.5 m v 2 = e U 。 所以最终可以得到

　　 λ = h/ (根号下 2emU)。

　　也就是说电子束的波长仅仅和加速电压有关。 （补充： 这样说是不对的，因为m也是一个变量， 当电子束的速度很大时， 就要考虑到相对论效应了。 即 m = m0/ (根号下 1 - (v/c)2)）。

注： 电子束的波长一般比可见光要小5个数量级左右，一般可见光的波长在400~700nm， 而X射线的波长在0.1~10nm， 可以知道电子束的波长在0.00几纳米。

电子波的折射

　　电子从一个强度的电场到另外一个强度的电场会发生折射这是不难理解的（以一定的角度，如果垂直进入，就不会发生折射了），因为一旦进入，在平行于电场方向的速度分量会因为受力而导致增加，那么结果就是方向发生了改变，这样，我们就认为发生了折射，但是和可见光不同，可见光从光疏介质到光密介质时， 角度减小，并且速度减小； 但是对于电子束而言，虽然角度减小了，但是速度却增加了。 

　　

成像透镜及其性质

• 静电透镜　　

 　　一对电位不等的圆筒就可以构成一个最简单的经典透镜，如果一个圆筒的电位比另一个圆筒低，那么电力线方向就由高压方向指向低压方向。 如果我们再垂直于电力线方向画出等位面，那么其形状就和凸透镜方向是相似的。 当电子束从低电压方向向高压方向照射时， 就会在筒轴线的某一点上聚焦。

• 磁透镜

 　一个电子在磁场中会受到洛伦兹力，判断的方式如下。

　　首先知道左手力，右手电。

　　伸出摊平的左手，让磁感线垂直穿过手心，然后四指指向正电荷的运动方向， 那么和四指垂直的大拇指的方向就是受力的方向。

 　其中， 通电的短线圈就是一个简单的磁透镜， 他能造成一种不均匀分布的磁场， 。。。。。最终， 穿过线圈的电子在洛伦兹力的作用下回向主轴靠近。 这就是聚焦的原理。

　　

　　书上167页的是带有铁壳的磁透镜示意图。 导线外围的磁力线都在铁壳中通过，由于在软磁壳的内侧开一道环状的狭缝，从而可以减小磁场的广延度， 使得大量磁力线集中在缝隙附近的狭小地区之内，增加了磁场的强度。 为了进一步缩小磁场的轴向宽度，还可以在环状间隙两边接触一堆顶端成圆锥形的极靴， 带有极靴的磁透镜可以使有效磁场集中到沿透镜轴几毫米的范围之内。 

　　我们知道成像的条件是  1/f = 1/L1 + 1/L2 。

• 对于光学透镜而言， 焦距f是不同改变的，所以如果希望满足成像条件，就必须同时改变L1和L2。
• 但是磁透镜（由磁来产生和光学透镜一样的聚焦效果的透镜即磁透镜）可以通过改变电流的大小来改变焦距f， 所以在磁透镜成像时，可以在保持物距不变的情况下，改变焦距和像距来满足成像条件。 也可以保持像距不变，改变焦距和物距来满足条件。

　　注意理解这三个关键词：  焦距、物距、像距之间的关系和区别。

　　重点内容

电磁透镜的像差

　　其像差分为两类：

• 几何像差（单色光引起的像差） --- 主要包括球差和像散。 
• 色差（非单色光，而是因电子波的波长或能量发生一定幅度的改变而造成的） ---  即由波长不同的多色光引起的像差。 

　　之前我们提到过像差这个概念， 它是一个非常宽泛的概念， 即在此之下又包含了其他很多不同的具体的像差。

• 球差：  和我们之前将光学玻璃透镜所说的球差是一样的， 但是这里我们可以通过电子光学实验倒出球差的计算公式： r_s = (1/4) Cs α ³。 其中rs代表球差的大小（s即为sphere球的意思），它是球差引起的散焦半径（散焦即偏离了焦点，显然，这个散焦半径越大，那么球差就是越大的）Rs除以放大倍数M（放大即Maximum的意思，就是m，放大，所以这里都不难理解）的值，即 rs = Rs/M 。  Cs是球差系数。 α是透镜的孔径半角。 由于α是三次方的关系，所以不难理解对于电磁透镜而言， 降低α将会使得球差明显减小。
• 像散：  极靴内孔不圆， 上下极靴的轴线错位，制作极靴的材料材质不均匀以及极靴孔周围局部污染等原因都会使磁透镜的磁场产生椭圆度。 透镜磁场的这种非旋转型对称， 会使得它在不同方向上的聚焦能力出现差别，结果使得成像物点P通过透镜后不能在像平面上聚焦成一点，这就是像差。 而在聚焦最好的情况下， 能得到一个最小的散焦斑，把最小的散焦斑Ra折算到物点P的位置上去，就形成了一个半径为ra的圆斑，用ra来标识像散的大小，ra可以通过ra = fa * α来计算，其中fa为磁透镜出现椭圆度时造成的焦距差， 如果磁透镜在制造过程中已有固有的像散，那么就可以引入一个强度和方位都可以调节的校正磁场来进行补偿，这就是消像散器。
• 色差： 即如果入射电子能量出现一定的差别，能量大的电子在距离透镜光心比较远的地方聚焦，而能量低的电子在距焦心近的地方聚焦， 就会形成一个焦距差， 把像平面在之间移动时，也会得到一个最小的散焦斑，其半径为Rc。 同样的，Rc再除以透镜的放大倍数，就可以得到rc。 其中 rc可以通过这个式子计算：  rc = Cc *α *(δE/E) 。 其中的Cc为色差系数，  (δE/E) 为电子束能量变化率。 当Cc和孔径角α一定时， (δE/E) 的值取决于加速电压的稳定性和电子穿过样品时发生弹性散射的程度。 如果样品很薄，就可以把后者的影响去掉。 所以采取稳定加速电压的方法可以有效的减小色差。

电磁透镜的分辨率和放大倍数

　　除了球差、像散和色差外，与光学透镜相同， 电子束穿过电磁透镜成像时也会发生衍射效应。  而衍射效应可以在像平面上形成半径为R0的散焦斑。 把R0折算到成像物体上，其尺度就是电磁透镜衍射效应的分辨率r0。  

　　说明： 我们知道，这几种造成误差都是会导致在像平面上形成半径为。。的散焦斑。然后再折算到成像物体上。

　　同样的， 电磁透镜的分辨率大小受到衍射效应、球差、像散和色差等诸多因素， 而分辨率的具体尺度取决于r0 rs ra rc 中具有最大数值的那个量。  

　　所以如果希望提高分辨率，只要把几个r中的最大的r降低一点就可以提高分辨率了。  

透射电镜的分辨率分为点分辨率和晶格分辨率：

　　点分辨率：  其大小等于透射电镜电子显微镜刚能分清的两个独立颗粒的间隙或中心间距。

　　晶格分辨率： 利用定向成长的单晶体薄膜作为标准样品，用平行于晶体薄膜作为标准样品，用平行于晶体薄膜某一晶面的电子束摄取该晶面的间距条纹。

　　一般来说， 5000倍以下的低放大倍数是利用光栅复型进行校正的，而高放大倍数是利用晶格条纹来标定的。

电磁透镜的景深和焦长 

 　　景深 --- 是指像平面固定时（像距固定），能维持物像清晰的范围内，允许物平面（样品）沿透镜主轴移动的最大距离。

　　即如果我们保持像距固定时，移动样品（物平面），上移和下移，然后就会在像平面上形成一个半径为R散焦斑， 如果衍射效应是决定透镜分辨率的控制因素（即在上述诸多因素中r0是最大的），那么在像平面上由衍射引起的散焦半径R0，所以只要物平面在移动的过程中造成的散焦半径是小于R0的，那么并不会影响物像的清晰度。 那么就是说在主轴上移动不会影响清晰度，所以这移动的距离就是景深。用Df表示，并且可以得出： Df = 2r0/tanα。 其中α是孔径半角。一般可以求出Df为200~2000nm，即在这个范围内移动不会造成清晰度的改变。金属薄膜试样的厚度一般只有200~300厚，所以在上述景深范围内可以保证样品整个厚度范围内的各个结构都可以清晰看到。

　　焦长 --- 透镜的焦长是指在固定样品的条件下（物距不变），像平面沿透镜主轴移动时仍能保证物象清晰的距离范围。 

　　即如果把像平面向靠近物体的方向移动一段距离，会散焦成一个半径为R的欠焦斑，如果向后移动一段距离，会形成一个半径同样为R的过焦斑， 同样，如果衍射效应还是决定透镜分辨率的因素的话，最小散焦半径还是R0。 那么就可以得到Dl的值为  2*r0*M/tanβ， 其中的Dl就是焦长，一般可以得到Dl为8mm。 考虑到电子显微镜是多级放大，所以总得放大倍数很高，那么M=2000倍时， Dl可以达到80cm， 所以在透射电镜中，虽然荧光屏和照相底片的距离很大，还是可以得到清晰的图像。  可以看奥，随着α的减小，Df和Dl都可以变大，所以，在电磁透镜中加入一个直径较小的光澜时，可以使得景深和焦长明显变大。

　　

透射电子显微镜的光路系统

　　透射电镜的光路是由三个部分组成的： 照明系统、 成像系统、观察记录装置。

　　

照明系统

　　照明系统主要是由电子枪和聚光镜组成。 其中电子枪是用来发射电子的光源，而聚光镜是用来将电子枪发射出来的电子汇聚成的交叉点进一步汇聚到样品表面上去。  

　　一般电子枪是自偏压回路。 负的高压直接加在栅极上，而阴极和负高压之间因为加上了一个偏压电阻，所以使得栅极和阴极之间有一个数百伏的电压差。。。。。

　　而聚光镜是因为电子显微镜要求样品被照明的范围很小，因此把电子枪提供的光斑直径进一步会缩聚小，以便于得到一束强度高、直径小、相干性又好的电子束。 高性能电子显微镜一般采用的是双聚光镜系统。

双聚光镜的优点：  在较大的范围内调节电子束束斑的大小； 可以限制样品上被照射的面积，使得照射部分以外的区域免受污染； 使得样品的温度降低，可以减少热漂移，防止烧坏，以及电子束的发散度小，以便于得到高质量的衍射花样。

 成像系统

　　成像系统主要是由物镜、中间镜和投影镜组成的。

　　物镜： 作用是第一次放大像。 

　　电子显微镜的分辨率是由一次像来决定的，只有被物镜分辨出来的结构细节，通过中间镜和投影镜放大，才能被肉眼看清。 

• 物镜是一个强励磁短焦距的透镜（f = 1 ~ 3mm）， 它的放大倍数较高，一般为100~300倍。
• 物镜的分辨率主要决定于极靴的形状和加工精度。 一般来说，极靴的内孔和上下极靴之间的距离越小，那么物镜的分辨率就越高。为了减小物镜的球差，往往在物镜的后焦面上安放一个物镜光阑，物镜光阑可以减小球差、像散和色差，还可以提高图像的衬度。
•  注意： 在使用电子显微镜进行图像分析时， 物镜和样品之间的距离（物距）不变，所以通常改变物镜的焦距和像距来满足成像条件。 这与普通的光学显微镜不同，如金相光学显微镜是焦距不变，我们通过调节物距和像距来满足成像条件。

 　　中间镜： 利用其可变倍率来控制电镜的总放大倍数。

中间镜是一个弱透镜，其焦距很长，放大倍数可以通过调节励磁电流来改变。 一般情况下， 中间镜的放大倍数在0~20倍之间，当M>1时，中间镜起放大作用； 当M<1时，中间镜起缩小作用。 

举例： 如果物镜的放大倍数是M0 = 100. 投影镜的放大倍数是Mp = 100. 则当调节中间镜的放大倍数为Mi = 20倍时，总的放大倍数是M = 100 * 100 * 20 。

在中间镜的上方，物镜的像平面位置上有时可以加入一个中间镜光阑。这个光阑孔的直径是分档可变的， 习惯上称之为选区光阑。 作用是： 只让通过光阑孔的一次像所对应的样品区域提供衍射花样，以便于对该微区组织进行晶体结构分析。 

　　投影镜： 作用是把经中间镜放大（或缩小）的像（或电子衍射花样）进一步放大，并投影到荧光屏上

　它和物镜一样，是一个短焦距的强磁透镜。 投影镜的励磁电流是固定的。 因为成像电子束进入投影镜时孔径角很小，因此它的景深和焦长都非常大。

 　　观察和记录装置

　　观察和记录装置包括荧光屏和照相机构。 在荧光屏下面放一个可以自动换片的照相暗盒， 照相时只要把荧光屏垂直束起，电子束即可使得照相底片曝光。

　　电子显微镜在工作时，整个电子通道都必须置于真空系统中。新式的电子显微镜中，电子枪、镜筒、照相室之间都装有气阀，各部分都可以单独抽真空， 因此，在更换灯丝、清洗镜筒和更换底片时，可以不破坏其他部分的真空状态。 厉害！ 

主要部件的结构和工作原理

　　样品倾斜装置

　　在电镜下分析薄晶体样品的组织结构时，应该对他进行三维立体的观察，为此，必须使得样品相对于电子照射方向作有目的的倾斜， 以便从不同的角度获得各种形貌和晶体的特征。

　　为什么呢？  这就相当于我们要观察的全面，而不是盲人摸象，只能看到一个地方，而看不清楚全貌。

 　　现在设备都配备有样品倾斜装置，最常用的就是 --- 侧插式倾斜装置 --- 即样品杆从侧面进入物镜极靴中去的意思。 

　　

　　电子束倾斜和平移装置

　　新式的电子显微镜具有电磁偏转器，利用电磁偏转器可以使入射电子束平移和倾斜。  

　　

　　消像散器

　　消像散器可以是机械式的，也可以是电磁式的。 机械式的是在磁透镜的磁场周围放置几块位置可以调节的导磁体，用他们来吸引一部分磁场，把固有的椭圆形磁场校正成接近旋转对称的磁场。 电磁式的是通过电磁极间的吸引和排斥来校正椭圆形磁场的。 即通过改变两组电磁体的励磁强度和磁场的方向，就可以把固有的椭圆形磁场校正成旋转对称磁场，起到了消除像散的作用。

　　消像散器一般都安装在透镜的上下极靴之间。

光阑

　　透射电子显微镜中有三种光阑，它们是聚光镜光阑、物镜光阑和选取光阑。

 

聚光镜光阑　　

　　聚光镜光阑的作用是限制照明孔径角。 　

物镜光阑

　　物镜光阑又称衬度光阑，通常它安放在物镜的后焦面上，常用物镜光阑孔的直径是　20~120 um范围。 

选区光阑

　　选区光阑又称视场光阑，为了分析样品上的一个微小区域，应该在样品上放一个光阑，使得电子束只能通过光阑孔限定的微区。 对这个微区进行的衍射叫做选区衍射。

电子衍射

　　透射电子显微镜的最主要特点是它可以进行形貌分析，又可以进行电子衍射分析。电子衍射和X射线衍射是非常相似的，不同如下：

• 电子波的波长比X射线短的多， 在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小。 而X射线产生衍射时，衍射角可以达到接近90度。
• 在电子衍射时， 采用薄镜样品， 2dsin(theta) = λ， 如果d小了，那么hteta的范围可以广一些，所以采用薄晶样品， 于是略微偏离布拉格条件也可以发生衍射。
• 电子波的波长短，所以采用厄瓦尔德图解时，反射球的半径很大，在衍射角theta较小的范围内反射球的球面可以看成一个平面。
• 原子对电子的散射能力更强，所以电子衍射束的强度更大。 

电子束的布拉格衍射

　　我们通常考虑的都是一级衍射，即当是n级衍射时，我们看作是与之平行但晶面间距小n倍的一级衍射。 电子衍射的入射角很小，这一点不难理解。

　　

在电子衍射操作过程中，常在稍微偏离布拉格条件的情况下也可以得到衍射束的强度，这和X射线有所不同。

在大块晶体中产生布拉格衍射时，相邻两层晶面产生的散射波振幅相位相同，此时在衍射方向上两个振幅相加， 如果每层晶面产生的振幅为F，那么衍射振幅为2F，如果说晶体具有N层晶面，那么在符合布拉格条件时总振幅的大小为NF， 而大块的晶体往往有数万层原子面，因此振幅是非常高的。 

当相邻两层晶面产生的散射波之间具有一定的相位夹角时，两层的散射波振幅之和为A（不是2F了，因为有夹角，所以在矢量相加时，肯定不是2F）， 而五层晶面在衍射时的总振幅为A'， 不难想象，合成总振幅在0~2R范围内变化，最大值是轨迹圆半径的两倍。  

• 　　在大晶体中， NF比2R大得多（几个数量级），所以大块晶体在进行X射线分析时，如果不满足布拉格条件，那么衍射束的强度可以忽略了。 相比NF（即真正衍射时应该的振幅）差的太多。
•       在小晶体中， NF和2R在数值上像差并不悬殊，所以此时所获得的衍射振幅就可以和满足布拉格的振幅相比较。 所以在电子衍射操作时，在偏离布拉格条件的一定范围内仍然存在。

电子衍射时布拉格方程的厄瓦尔德图解

　　K 入射矢量

　　K' 衍射矢量

　　2theta 衍射角

　　g矢量（衍射晶面矢量） --- 和衍射面的发现方向平行。 即g矢量是垂直于衍射晶面的，所以我们才称之为衍射晶面矢量。

　　我们认为---只要代表衍射晶面的矢量端点落在了厄瓦尔德球面上，就能产生布拉格衍射，因此：厄瓦尔德球又称为衍射球或者反射球。 

在作图过程中，我们首先规定了厄瓦尔德球的半径为1/λ， 同时令g（hkl）= 1 /d(hkl）， 这样做的目的是在于最终能够倒出布拉格方程的数学式。 

应当指出的是： 由于这两个规定条件，使得尔瓦德尔球本身已经置于倒易空间了。 所以在倒易空间中人一个g矢量就是（hkl）晶面的代表，如果我们能记录到各个g（hkl）矢量的排布方式，俺么就可以通过坐标转换推测出正空间中各衍射面间的相对方位，这就是电子衍射分析要解决的主要问题。

　　

g矢量

　　g矢量是和正空间中（hkl）晶面相互对应的一个倒易矢量。 

书上的184页很好的解释了g矢量，即abc分别是正空间的基矢，a*b*c*分别是倒易空间中的基矢， 然后我们由倒易空间中的定义可以得知： c*  = (a X b)/V。 V就是这个晶胞的体积，即V = c . (a X B)。 所以我们就可以得到 c*的模长是OP分之一，而OP是面间距，所以由此我们成功的解释了g矢量的模式正空间中面间距的倒数这一论证。 另外，我们可以看出g矢量确实是垂直于面的，且和(AXB)的方向是平行的。

　　

于是我们也可以看出： c*矢量的放下你个就是晶胞（001）的发现发现，他和（001）面面间距倒数想等。 于是 a*对应于（100）面，b*对应于010面， c*对应于001面。 

 　　

电子衍射的基本公式和产生衍射的充要条件

　　电子衍射是把操作倒易点阵的图像通过空间旋转并在正空间中记录下来。 用底片记录下的图像称为衍射花样。 

 　经过推导，我们可以推得衍射的基本公式： R = λ L g（hkl）。 其中λL称为电子衍射的相机常数， 而L是相机长度。 其中， R是正空间的矢量，而g是倒空间的矢量，所以λL是用来协调正倒空间的比例常数。 有了这个常数，我们就可以通过在底片上测得R进而求得g。 然后根据g利用正、倒空间的坐标转换就可以推知正空间中各衍射晶面的相对方位。 

　 

产生衍射的充要条件

补充内容：

A可以推出B，那么A是B的充分条件；

B可以推出A，那么A是B的必要条件；

A和B之间可以相互推出，那么A是B的充要条件。 

 而满足布拉格方程只是产生衍射的必要条件。 即产生衍射一定是满足布拉格方程的，但是满足布拉格方程不一定会产生衍射。

　　因为衍射束的强度和结果振幅的平方成正比， 如果结构因数为0，那么即使满足布拉格条件，也不能在衍射方向上记录到衍射束的强度。 

通俗的说， 布拉格方程是一定要满足的，但是同时你还要有振幅啊，如果没有振幅，那么这个衍射就没有强度，所以还是不能产生衍射。

 　 

　　在X射线衍射课程中已经介绍了计算典型的晶体结构的结构因数（到底是什么），常见几种晶体结构的消光（又是什么? 消光应该是说光不能发生衍射，即消光？ ）（即Fhkl = 0）规律如下：

• 简单立方： Fhkl恒不为0，也就是说，简单立方不存在消光的情况。
• 面心立方：  hkl有奇有偶时， Fhkl = 0.  （显然这里的一定是约分后的状态，比如123有奇有偶，如果乘上2，就全是偶了，所以必须是约分后的）hkl全奇全偶时， 不会消光。如{100}{210}{112}会不会产生衍射，而{111}{200}{220}就会产生消光。
• 体心立方： h + k + l = 奇数 时消光。 如果h+k+l是偶数，那么就不会消光。  如{100}{111}{012}就会消光，不会产生衍射，而{200},{110},{112} 就会衍射。 
• 密排六方： h + 2k = 3n 且 l为奇数时， 消光。 如（0001）（0331）等就不会产生衍射。

零层倒易面

　　书上187页的零层倒易面实际上就是书上185页中16-5图的g矢量所在的平面（注意：这个平面认为是属于球的，即近似把球的地面看做一个平面，虽然实际上不是的，但是因为入射角很小，所以我们近似认为g矢量是平着的）

 显然，零层倒易面上的各倒易矢量和晶带轴r = [uvw] 是垂直的，所以 g(hkl) 点乘 r = 0。 即hu + kv + lw = 0 这就是所谓的晶轴定理。 

标准电子衍射花样

　标准电子衍射花样是标准零层倒易截面的比例图像， 倒易点的指数就是衍射斑点的指数。 

　　相对于某一个特定的晶带轴【uvw】的零层倒易截面内个倒易点的指数受到两个条件的约束： 第一个条件是各倒易点和晶带轴的指数间必须满足晶带定理， 第二个条件是只有不消光的晶面才能在零层倒易轴上出现倒易点。

　　书上188和189页举了一些例子。

偏离矢量

从几何意义上来说，电子束方向和晶带轴面上的各倒易点不可能和厄瓦尔德球相交（因为零层倒易面是一个平面啊，球是一个圆的）。

　　所以如果想要两者相交，就得把晶体倾斜，这样才有可能（真的需要这样吗？）。

　　但是在晶体衍射操作时， 晶带轴和电子束的轴线严格保持重合时，仍然可以使得g矢量端点不在球上就发生衍射（为什么啊，这不是不符合布拉格定律了吗？）。

　　这是因为薄晶体（对！ 之前说过的）电子衍射操作时衍射束的强度分布有一定的宽度范围，也就是说在稍微偏离布拉格条件的情况下， 仍有一定强度的衍射束产生， 此时薄晶体样品的倒易点已经不再是一个几何点了。 而是一根沿着样品厚度最薄方向上的扩展的杆子（见190页的16-10图）。 且杆子的长度和样品的厚度t成反比，因此样品越薄，倒易杆就越长。 

　　偏离时，倒易杆中心到球心交截点的距离可以使用s来表示， s就是偏移矢量， 其中如果theta为负，那么s为正。 

　　 薄晶体电子衍射时， 倒易点延伸成杆状是获的零层倒易面比例图像的主要原因， 其他一些因素也可以促进电子衍射花样的形成， 例如电子束的波长短，使得球很大，那么在小角度就是平面了， 所以就可以获得比例图像，另外， 加速电压波动，使得球有一定的厚度。 或者电子束有一定的发散度也可以。

电子显微镜中的电子衍射

　　电子在镜筒中是按照螺旋轨迹前进的， 衍射斑点到物镜的第一次像之间有一段距离，电子束通过这段距离时会转过一定的角度，这个角度就是磁转角fai。

 

单晶体电子衍射花样的标定

　　标定单晶体电子衍射花样的目的是：

• 确定零层倒易层上面各个g（hkl）矢量端点的指数。

• 定长零层倒易层的法线方向（即晶带轴[uvw]）。

• 确定待测晶体的点阵类型和物像。

对于不同条件，标定的方法是不同的，我们主要分为下面三种情况：

1. 已知相机常数和已知样品的晶体结构时衍射花样的标定。
2. 相机常数不知、晶体结构已知时衍射花样的标定。
3. 已知相机常数、不知晶体结构时衍射花样的标定。
4. 用对照标准电子衍射花样法进行标定。
5. 用查表法进行标定。

1. 已知相机常数和已知样品的晶体结构时衍射花样的标定。

　　（1） 测量靠近中心斑点（最亮的）的几个衍射斑点到中心斑点的距离R1、R2、R3、R4。。。

　　（2） 根据衍射基本公式 R = λL(1/D) 求出相应晶面间距d1、d2、d3、d4。。。

　　（3） 因为晶体结构是已知的，所以每一个d值都相当于某一个晶面族的面间距，所以可以根据d值得知晶面族指数{hkl}，即由d1查出{h1k1k1}，由d2查出{h2k2l2}，依次类推。

　　（4） 测定各个衍射斑点之间的夹角φ（即相对于中心斑点而言）。

　　（5） 决定离开中心斑点最近的衍射斑点的指数。 如果R1最短，那么相应斑点的指数应该为{h1k1l1}当中的一个。 对于hkl三个指数都不等的面族来说如{123}，一共有48种标定方法； hkl中有两个相等的面族，如{112}，共有24种标定方法（为什么？？？）。。。。因此，第一个斑点的指数可以是等价晶面中的任意一个。

　　（6） 决定第二个斑点的指数。   第二个斑点的指数不能任选，而是只有和第一个斑点的夹角符合夹角公式的才可以。 如对于立方晶系而言，必须满足。。。（此处省略一个公式）  在决定第二个斑点指数时， 应该进行尝试校核，即只有h2k2l2带入夹角公式后满足才是正确的，否则就是错误的，重新尝试下一个。 注意： h2k2l2一般不止一个，所以第二个斑点指数也有一定的任意性。

　　（7） 一旦确定了两个斑点，那么其他的斑点可以根据矢量运算求得，如图所示，进行矢量相加即可。--- 至此，第一个目的达到。

　　（8） 根据晶带定理求得倒易面法线的方向， 即晶带轴的指数。 书195页。 至此，第二个目的也达到。

　　2. 相机常数未知，晶体结构已知时衍射花样的标定。

　　 测量数个斑点的R值，用下标校核各低指数晶面的d(hkl)间的比值 方法如下： 

 　　3. 已知相机常数、不知晶体结构时衍射花样的标定。

　　 4. 用对照标准电子衍射花样法进行标定

　　即把摄的的电子衍射花样和附录中标准的比较，如果两者相似，就立即可以按照标准花样上的各指数标定照片上斑点的指数。 这种方法对于已知晶体的标定非常有效， 但是标准电子衍射花样只有有限的几个主要晶带的衍射花样，如果对于其他的，还是要采用其他方法。

　　

　　 5.用查表法进行标定

　　 事先使用计算机根据晶体的各项参数（晶体类型、晶格常数和夹角公式等）算出每种晶体的特定表格， 然后可以利用相邻两个R矢量的比例和他们之间的夹角查出相应斑点的指数和花样的晶带轴。当两个R矢量夹角足够大时，查表法是最为常用的方法， 对于非立方晶系来说尤如此。

多晶体的电子衍射花样

　　即花样中出现了多个同心圆环，每个圆环是由多晶体中同一{hkl}面族的晶面发生衍射而造成的。

菊花线

　　一些缺陷较少、具有一定厚度的薄晶体样品，在衍射花样内还会出现亮暗成对的平行线条， 这种线条就是菊花线。

薄晶体的电子显微分析

薄晶体样品（薄膜）的制备

　　如果要分析薄晶体，那么我们就需要制备薄晶体样品， 一般来说电子束的加速电压在200kv时， 可以穿透500nm厚的铁膜。。。 所以一般而言我们都要求金属的样品厚度在500nm以下。

　　合乎要求的薄膜样品必须具备下列条件：

1.  薄膜样品的组织结构必须和大块样品相同，在制备过程中，这些组织结构不发生变化。
2.  样品对于电子束而言必须有足够的“透明度”，因为只有样品能被电子束透过，才有可能进行观察和分析。
3.  薄膜样品应该有一定的强度和刚度， 在制备、夹持、操作过程中，在一定的机械力作用下不会引起变化或损坏； 
4.  在样品制备过程中不允许表面产生氧化和腐蚀，氧化和腐蚀会使样品的透明度下降，并造成很多假象。

　　通常我们采用的方法是：将薄膜从大块样品上直接截取下来；分为下面三个步骤：

1.  从实物或大块试样上切割厚度为0.3~0.5厚的薄片。 
2.  对样品薄片预先减薄，即使用砂纸磨。
3.  最终减薄。 

衍射衬度原理

　　       薄晶体样品受到电子束照射时，如果晶体中所有晶面都和布拉格条件有很大的偏差，那么入射电子束就可以全部透过样品， 而没有衍射产生。 此时透射束的强度可认为和入射电子束的强度相等。

　　　　如果薄晶体样品中有某些晶面符合或基本符合布拉格条件，在结构因数不等于0的情况下，这些晶面就会产生衍射。      那么透射束的强度就会小于入射束。

如果样品内部存在许多晶粒（或各种组成相），在电子束照射下，有些晶粒不会发生衍射（或衍射强度很低）， 而另一些则相反， 可以想象在使用透射束成像时， 前者的亮度要比后者大，这种由于样品中不同晶体（或者同一晶体不同位向）衍射条件不同而造成的衬度差别就是衍射衬度。

 　　　　那么什么是衬度呢？ 

衬度指的是图像上不同区域间存在的明暗程度的差异，也正是因为衬度，我们才能看到各种具体的图像。

成像衬度是光学显微镜的另一个关键问题，有些显微镜观察对象，如生物标本，其细节间亮度差别甚小，加之显微镜光学系统设计制造误差使其成像衬度进一步降低而难于分辨，此时，看不清物体细节，不是总放大倍率过低，也不是物镜数值孔径太小，而是由于像面衬度太低的缘故。

　　　　书上208页的图17-2是形成衍射衬度的示意图， 图中表示了薄晶体内两颗不同位向的晶体A和B成像的情况。  简化分析，认为B晶粒中仅有一组晶面产生衍射，A晶粒中所有的晶面都偏离布拉格条件很远。 

　　　　(1)如果使用透射束成像， 则物镜光阑放在中心斑点的位置。 可以看到，由于B晶粒产生了衍射，所以衍射束（衍射束强度I(hkl)却被物镜光阑挡住， 所以在像平面上B晶粒的亮度就比A要低。 因为Ib = I0 - Ihkl 而 Ia = I0） 

　　　　(2)如果我们把光阑孔向左移动，那么他的位置就会和衍射斑hkl重合， 那么，由于透射束完全被光阑遮住，所以A晶粒就完全显示不出亮度。 与之相反，此时B晶粒将由衍射束提供的强度（Ib = Ihkl）在像平面上成像。 这种使用衍射束形成的电子衍射图像叫做暗场像。 

　　　　（3） 第一章中我们曾经讨论过成像透镜形成的球差， 由于衍射束远离透镜的主轴， 所以球差就会很大，因此要得到高质量的暗场像可以采用中心暗场，即把入射电子束相对于衍射晶面倾斜2theta角， 倾斜操作可以借助于显微镜内上下偏转线圈来完成，这是衍射斑（副焦点）hkl将会移动到透镜的中心位置， 由于衍射束和透镜的主轴重合，球差大大减小， 所以中心暗场的图像将会比普通的暗场图像更加清晰。

　　　　注意: 在成像过程中，如果不加光阑，也可以得到衍衬图像，只是得到的图像衬度比较低， 这是因为没有物镜光阑时， 不仅透射束参与了成像，而且大部分晶面指数比较低的衍射束也同时参与了成像， 此时荧光屏上的各组成相的衬度是依靠他们各自的晶面指数较高的衍射束被镜筒挡掉而产生的， 因此物镜光阑的直径越小， 被挡住的衍射束越多，图像的衬度就越高。在摄取显微组织照片时， 要使用小孔径的物镜光阑的道理就在于此。 

　　

晶体缺陷分析(重点学习 )

 　　这里所指的晶体缺陷主要是下列几种， 即层错、位错、和第二相例子在基体上造成的畸变。

　　

层错

　　层错是一种面缺陷， 它存在于某些确定的晶面上。 层错的缺陷矢量R是以它的位移矢量来表示的。 、　　

　　对面心立方晶体而言， 层错的位移矢量有两类。 即 R = (正负) 1/3 <111> 和 R = (正负) 1/6 <112> 。书上219页最上面的图就是层错， 其中层错面和薄膜表面平行，层错距离上下表面的距离分别是t1和t2， 上部晶体可以视为理想晶体， 缺陷矢量R=0； 下部晶体是含有层错的晶体， 它相对于上面的理想晶体位移了一个R矢量。 从形式上来看，层错的缺陷矢量具有最简单的表达式。 

　　如果坐标原点假定在薄膜上表面。那么层错的缺陷矢量和厚度t的关系为： 当t <= t1 时，R=0； 当 t > t1 时， R = 常数。 当R =  (正负) 1/3 <111>时， R的方向和和法线方向一致； 当R为1/6。。时， R的方向和法线方向平行。 

　　如果R = 1/3, 那么由此得到的附件相位角为： α = 2 * PI  * g(hkl)  点乘  (正负) 1/3 <111> = (正负) 2PI/3 (h + k +l)。 　　

　　同理，如果R= 1/6， 那么附加相位角为： α = 2 * PI  * g(hkl) 点乘  (正负) 1/6 <112> = (正负) PI/3 (h + k +2l)。 

其中， g(hkl)是衍射晶面的倒易矢量， hkl表示衍射晶面指数， 因为面心立方晶体结构因数不为0的条件是 hkl必须全奇或者全偶， 所以在{111}层错面上算出来的α只能是两类：

• 第一类α = （正负）2nPI （n=0 正负1 正负2 。。。）
• 另一类是 正负2/3 n PI。
•     当是第一类时， 图中具有层错的晶柱底部计算出的衍射波振幅和理想晶体晶柱底部的衍射振幅大小上并没有差别， 因此层错不显示衬度。  
•     但当时后者时， 含有层错的晶柱底部的衍射波振幅大小将不同于理想晶体晶柱底部的衍射波振幅， 从而在衬度上出现差别。  

利用(负113)(420)(333) 这些面作为衍射晶面时， 把他们的晶面指数带入求解附加相位角的公式，可以看到不管R等于1/3的层错还是1/6的层错，他们的附加相位角都是 2nPI类型， 所以层错均不可见。

但是改用(113)(负420)这种形式的带入时，α都是2/3nPI类型的，此时两类层错都能显示出衬度。 

使用(222)面作为衍射晶面时，R = +- 1/6 <112>  的层错，其α为正负8/3pi，可以显示出衬度； 而R=正负1/3<111>的层错，不显示衬度。  

而若利用(131)时，情况刚好和上面的相反。 

　　综上所述： 在面心立方中， 只有选择合适的衍射晶面，使得附加相位角为正负2/3npi时，才能使得在透射电子显微镜下看到层错。 

　　由此可见，在透射电子显微镜下看不到层错，不是因为不存在层错，而是因为选择了α=+- 2nPI的衍射晶面才造成的。

　　

位错

　　　AB是螺位错线，位错线周围有应变场， 使得晶柱PQ畸变为P'Q'， 根据螺位错线周围原子的唯一特性， 可以确定缺陷矢量R的方向和伯氏矢量b的方向一致， 图中X表示了晶柱和位错线之间的水平距离， z表示了晶柱内不同深度的坐标， 薄晶的厚度为t， 因为晶柱位于螺位错的应力场之中，晶柱内个点应变量都不相同， 因此各点R矢量的数值均不相同， 即R应该是坐标Z的函数。

　　为了便于描述晶体的畸变特点，我们把度量R的长度坐标转换成角坐标β， 如下： R/b = β/(2π)。 可以得知当β转一周时， 螺位错的畸变量刚好是一个伯氏矢量。   B角的位置也已经标出， 可以得出：

　　　　R = （b/（2π）） * arctan （(z-y)/x） 

　   所以不难看出晶柱位置确定以后（x、y一定）R是z的函数，因为晶体中引入缺陷矢量后，即附加相位角α = 2 π g 点乘 R。 　

　　所以： α = g 点乘 β  arctan （(z-y)/x）= n β。  

　　如果 gb=0： 那么附加相位角就等于0， 此时即使有螺位错线存在，也不显示出衬度。 

　　如果gb!=0:   那么螺位错线附近的衬度和完整晶体部分的衬度不同，其中存在的差别就可以通过下面的两个式子完整的表达出来。 

说明： α 即附加相位角， 如果它为0， 那么就无衬度； 如果它不为0，那么就有衬度。

　　　　所以gb点乘b = 0 是位错线不可见性判据。 利用它可以确定位错线的伯氏矢量。 因为gb=0表示g和b相互垂直，如果选择两个g矢量作衍射操作时， 位错均不可见，即 g1b = 0； g2b = 0； 那么通过联立求解就可以求得伯氏矢量。 

 

第二相粒子

　　这里指的第二相例子主要是指那些和基体之间处于共格或者半共格状态的粒子，他们的存在会使基体晶格发生畸变，由此就引入了缺陷矢量R， 使产生畸变的晶体部分和不产生畸变的晶体部分之间出现衬度的差别， 因此， 这类衬度被称为应变场衬度。

　　在进行薄膜衍射分析中， 样品中的第二相粒子不一定都会引起基体晶格的畸变，因此在荧光屏上看到的第二相粒子和基体间的衬度差别是下列原因造成的；

•  由于第二相粒子和基体之间的晶体结构和位向存在差别造成的衬度。
•  第二相的散射因子和基体不同造成的衬度。  

 

 

扫描电子显微镜和电子探针

　　扫描电子显微镜和透射电子显微镜的成像原理完全不同，它是使用从样品表面激发出的各种物理信号来调制成像的。  目前显微断口分析工作都是使用扫描电子显微镜来实现的。

 　　刚刚说到，扫描电子显微镜的工作原理是使用从样品表面激发出的各种物理信号来调制成像的，那么从样品表面激发出了什么呢？

1. 背散射电子 --- 即被固体样品中的原子核反弹回来的一部分入射电子。  分为弹性和非弹性背散射电子。 其中弹性背散射电子没有能量损失，而非弹性背散射电子的能量损失很大。 说明：由于背散射电子来自样品表层几百纳米的深度范围，且它的产额随着原子序数的增大而增多，所以不仅可以做形貌分析，还可以用来显示原子序数衬度， 定性地用作成分分析。
2. 二次电子 --- 即在入射电子作用下被轰击出来并离开样品表面的核外电子叫做二次电子。  二次电子的能量很低，但是由于二次电子都是在5~10nm的深度范围内发射出来的， 所以对样品的表面状态非常敏感。 因此可以非常有效的显示样品的表面形态。 二次电子和原子序数无关，所以不能用来做成分分析。
   
3. 吸收电子 --- 即入射电子进入样品能量消耗殆尽，最后被样品吸收。 若溢出表面的背散射电子和二次电子越少，那么吸收电子就越多。 注意： 由于二次电子在不同原子序数上的原子的差别不大，而背散射电子越多，即吸收电子越少，那么原子序数越大。 所以吸收电子能够产生原子序数衬度，同样也可以进行定性的微区成分分析。
4. 透射电子 --- 即穿透样品透射出去，就是透射电子。  
   
5. 特征X射线 --- 即当内层的电子被激发或电离时， 原子就会处在较高的激发状态， 此时外层电子将内层跃迁以填补内层电子的空缺， 从而使得原子的能量降低。 然后中间相差的能量就会发生特征X射线。  且原子序数和特正能量之间是有对应关系的， 利用这个关系可以进行成分分析， 如果我们用X射线探测器测到了样品微区中存在某一种特征波长，就可以判定这个微区中存在相应的元素。 
6. 俄歇电子 --- 及如果在5中多余的能量不是以X射线的形式释放，而是通过哦给了其他的电子使之释放，那么这个电子就是俄歇电子。  因为每一种院子都有自己特定的壳层能量，所以他们的俄歇电子也各有特征值。 

扫描电子显微镜的构造和工作原理

　　扫描电子显微镜是由 电子光学系统 信号收集图像显示记录系统 真空系统三个部分组成的   

电子光学系统

　　包括电子枪、电磁透镜、扫描线圈和样品室

• 电子枪自然就是用于发射电子之用
• 电磁透镜一般都是三个聚光镜，前两个聚光镜把电子束光斑缩小， 第三个聚光镜是弱透镜，具有较长的焦距，布置这个末级透镜（称为物镜）的目的是在样品室和透镜之间留有一定的空间，以便装入各种信号探测器。  扫描电子显微镜照射到样品上的电子束直径越小， 那么成像单元的尺寸越小，所以分辨率就越高。 
• 扫描电圈 --- 作用是使得电子束偏转，并在样品表面作有规则的扫动。  
• 样品室 --- 样品室内除了安放样品外，还安放信号探测器。 各种不同信号的收集和相应检测器的安放位置有很大的关系，如果安置不当，则有可能收不到信号或者受到的信号非常弱。 

 信号收集和图像显示系统

　　二次电子、背散射电子和透射电子的信号都可以采用闪烁计数器来进行检测。 信号电子进入闪烁体后立即电离， 当离子和自由电子复合后就产生可见光。 可见光信号通过光导管送入光电倍增器， 光信号放大后即又转化成电流信号输出。 电流信号经过视频放大器放大后就成为了调制信号。 如前所述， 由于镜筒中的电子束和显像管中电子束是同步扫描的， 而荧光屏上每一点的亮度是根据样品上被激发出来的信号强度来调制的， 因样品上个点的状态不同， 所以接受到的信号也不同， 于是就可以在显像管上看到一幅反映试样各点状态的扫描电子显微图像。 

 

真空系统

　　为保证扫描电子显微镜中电子光学系统的正常工作，对镜筒内的真空度有一定的要求。一般情况下， 如果真空系统能够提供一定的真空度时， 就可以防止样品的污染， 如果真空度不足，那么除了样品被严重污染之外， 还会出现灯丝寿命下降、极间放点等问题。

　　

扫描电子显微镜的主要性能

　　

分辨率 --- 二次电子和俄歇电子的分辨率高， 而特征X射线调制成显微图像的分辨率最低。 不同信号造成分辨率之间的差别如图（230页）。  即俄歇电子和二次电子因为其本身能量较低以及平均自由程很短，所以只能在样品的浅层表面内溢出。 俄歇电子和二次电子只能在一个和束斑直径相当的圆柱体内被激发出来， 因为束斑直径就是一个成像检测单元的大小。 

　　因为图像分析时， 二次电子（或俄歇电子）信号的分辨率最高，所以所谓扫描电子显微镜的分辨率就是二次电子像的分辨率。   

　扫描电子显微镜的分辨率是通过测定图像中两个颗粒（或区域）间的最小距离来确定的。  测定的方法就是在已知放大倍数的条件下，把在图像上测到的最小间距除以放大倍数就是分辨率， 目前商品生产的扫描电子显微镜的二次电子分辨率已经优于3nm。

X射线的衍射强度

　　X射线的测量过程中，除了衍射方向之外， 衍射线的强度也是非常重要的。 

　　影响衍射强度的因素很多， 在粉末法中， 主要因素有下面几种: 偏振因数、结构因数、多重性因数、洛伦兹因数、吸收因数和温度因数，其中偏振因数和洛伦兹因数又合称为角因数。

　　

电子散射因数fe， 它是一个很小的数， 说明一个电子的相干散射是很弱的；

而 1 + cos2theta2 / 2 称为偏振因数， 表明当入射线非偏振时， 相干散射线在不同方向上发生不同程度的偏振， 其强度随2theta变化。 

电子和原子对衍射强度的影响

　　当入射线和原子内部受核束缚较紧的电子相遇， 光量子能量不足以将原子电离，但是电子可以在X射线交变电场作用下发生受迫振动， 这样的电子就成为一个电子波的发射源， 向周围辐射和入射X射线波长相同的辐射称为相干散射。 因为各电子所散射的射线波长相同， 有可能相互干涉。 汤姆逊用经典的方法总结了此现象， 推导了相干散射强度的汤姆逊散射公式。

　　X射线为非偏振光，射到电子e后，在空间一点P的相干散射强度为 Ie

多重性因数

　　晶体中同一晶面族{hkl}的各等同晶面， 其原子排列相同， 晶面间距不等， 在多晶衍射中他们有同一的衍射角2theta， 所以其衍射将重叠在同一个衍射环上，。 某种晶面的等同晶面数增加，参与衍射的几率随之增加， 相应的衍射也将增强。 我们称某种晶面的等同晶面数为影响衍射强度的多重性因数P。  多重性因数和晶体对称性及晶面指数有关， 如立方晶系{100}面族， P = 6; {110} 面族， P = 12； 四方晶系{100}面族， P = 4。

　　

吸收因数

　　由于试样本身对入射线和衍射线的吸收， 使得衍射强度的实测值与计算值不符。   为了修正这一影响， 需要在强度公式中乘以吸收因数A(theta)， 它表示衍射线经过试样吸收之后的射出率。 吸收因数与试样的形状、大小、组成以及衍射角有关。

　　1. 圆柱试样的吸收因数

　　如果试样半径r和线吸收系数ul较大时， 入射线仅仅穿透一定的深度便被吸收了。 实际上只有一薄层物质参与衍射。衍射线穿过试样也同样受到吸收，其中在透射方向比较严重， 背射方向影响较小。  

　　当衍射强度不受吸收影响时，通常取 A(theta) = 1， 对同一试样， theta越大，吸收越小， A（theta）的值就接近1.  

　　2. 平板试样的吸收因数

　　X射线衍射仪采用平板试样， 通常是使入射线与衍射线相对于板面呈等角配置， 此时的吸收因数可以近似看做与theta无关，它和ul成反比。 

温度因数

　　晶体中的原子（或离子）始终围绕其平衡位置振动， 其振动幅度随着温度的升高而加大。   这个振幅和原子间距相比是不可忽略的。  原子热振动使得晶体点阵原子排列的周期性受到破坏，使得原来严格满足布拉格条件的相干散射产生附加的相位差，从而使得衍射强度减弱。 为了修正实验温度给衍射强度带来的影响， 需要在积分强度公式前面加上温度因数 e ^(-2M), 在温度T下的X射线衍射前度It与 0 K下的衍射强度I之比为 e (-2M)。 这是一个小于1的值。 

单胞对衍射强度的影响

　　简单点阵只由一种原子组成， 每个晶胞只有一个原子， 它分布在晶胞的顶角上， 单位晶胞的散射强度相当于一个原子的衍射强度。 复杂点阵晶胞中含有n个相同或不相同种类的原子，他们除了占据单胞的顶角之外， 还可能出现在体心、面心或其他位置。   复杂点阵单胞的散射波振幅应该为单胞中各原子的散射振幅的矢量合成。 由于衍射线的相互干涉， 某些方向的强度将会加强， 而某些方向的强度将会减弱甚至消失。 这种规律习惯称为系统消光。 研究单胞结构对衍射强度的影响， 在衍射分析的理论和应用中都十分重要。 

结构因数公式的推导

　　 根据图10-4， 我们取单胞的顶点O为坐标原点， A为单胞中任一原子j， 它的坐标矢量为 OA= rj = xja + yjb + zjb.  其中abc为单胞的基本平移矢量， xj、yj、zj为A原子的坐标。

　　 A原子和O原子间散射波的光程差为 δ = rj S - rj S0 = rj （S-S0）。 利用布拉格关系矢量公式和倒易矢量公式可得相位差为。。。 

为什么没有面心四方和底心四方？

结束

　　

内

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