算法进阶——贪心与动态规划

贪心算法

　　贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。

　　贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，关键是贪心策略的选择，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。

贪心算法基本要素：

1. 谈心选择：贪心选择是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。贪心选择是采用从顶向下、以迭代的方法做出相继选择，每做一次贪心选择就将所求问题简化为一个规模更小的子问题。对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择的性质，我们必须证明每一步所作的贪心选择最终能得到问题的最优解。通常可以首先证明问题的一个整体最优解，是从贪心选择开始的，而且作了贪心选择后，原问题简化为一个规模更小的类似子问题。然后，用数学归纳法证明，通过每一步贪心选择，最终可得到问题的一个整体最优解。
2. 最优子结构：当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。运用贪心策略在每一次转化时都取得了最优解。问题的最优子结构性质是该问题可用贪心算法或动态规划算法求解的关键特征。贪心算法的每一次操作都对结果产生直接影响，而动态规划则不是。贪心算法对每个子问题的解决方案都做出选择，不能回退；动态规划则会根据以前的选择结果对当前进行选择，有回退功能。动态规划主要运用于二维或三维问题，而贪心一般是一维问题

贪心算法基本思路：

　　贪心算法的基本思路是从问题的某一个初始解出发一步一步地进行，根据某个优化测度，每一步都要确保能获得局部最优解。每一步只考虑一个数据，他的选取应该满足局部优化的条件。若下一个数据和部分最优解连在一起不再是可行解时，就不把该数据添加到部分解中，直到把所有数据枚举完，或者不能再添加算法停止

例题一：

　　假设商店老板要找零n元钱，钱币面额有：100元、50元、20元、5元、1元，如何找零使得所需钱币的数量最少？

#假设商店老板需要找零n元钱，钱币的面额有：100元、50元、20元、5元、1元，如何找零使得所需钱币的数量最少？

money = [100,50,20,5,1]

def change_money(x):
    change = [0,0,0,0,0]
    for i,m in enumerate(money):
        change[i] = x // money[i]
        x = x % money[i]
    if x > 0:
        print("还剩%s" % x)
    return change

print(change_money(356.2))

例题二：

　　一辆汽车加满油后可行驶n公里，旅途中有k个加油站，加油站之间的距离存放在列表l中。汽车要怎么停靠加油才能使加油次数最少？

#一辆汽车加满油后可行驶n公里。旅途中有k个加油站。设计一个有效算法，指出应在哪些加油站停靠加油，使沿途加油次数最少。 
#对于给定的n(n <= 5000)和k(k <= 1000)个加油站位置，编程计算最少加油次数。
def greedy(n,k,l):
    num = 0
    # 表示加油次数
    for i in range(k):
        if l[i] > n:
            print('no solution')
            # 如果距离中得到任何一个数值大于n 则无法计算
            return

    i, s = 0, 0
    # 利用s进行迭代
    while i <= k:
        s += l[i]
        if s >= n:
            # 当局部和大于n时则局部和更新为当前距离
            s = l[i]
            # 贪心意在令每一次加满油之后跑尽可能多的距离
            num += 1
        i += 1
    print(num)

if __name__ == '__main__':
    n = 100
    k = 5
    l = [50, 80, 39, 60, 40, 32]    # 表示加油站之间的距离
    greedy(n,k,l)

例题三：

　　有n个非负整数，将其按照字符串拼接的方式拼接为一个整数。如何拼接可以使得得到的整数最大？如何拼接可以使得得到的整数最小？

例：32,94,128,1286,6,71可以拼接出的最大整数为94716321286128，最小整数为12812863267194

动态规划